1、2.1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程目标定位重点难点1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程3掌握点的轨迹的求法重点：椭圆的定义及标准方程难点：椭圆标准方程的推导过程及应用；点的轨迹的求法1椭圆的定义把 平 面 内 与 两 个 定 点 F1，F2 的 距 离 的 和 等 于_的点的轨迹叫作椭圆，这_叫作椭圆的焦点，_叫作椭圆的焦距常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点间的距离2椭圆的标准方程其中a，b，c之间的关系是_椭 圆焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦 点x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b2
2、1(ab0)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a2b2c21命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P的轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【答案】D2已知椭圆x216y2251 的两个焦点为 F1，F2，弦 AB 过点F2，则ABF1 的周长为()A10B12C16D203(2017 年湖北宜城校级月考)若曲线 x21k y21k1 表示椭圆，则 k 的取值范围是()Ak1 Bk1C1k1 D1k0 或 0k1【答案】D4若椭圆x216y2b21 过点(2，3)，则其焦距为_
3、【答案】4 3应用椭圆的定义解题【例 1】如图所示，已知椭圆的方程为x24y231，若点 P是椭圆上第二象限内的点，且PF1F2120，求PF1F2 的面积【解题探究】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长【解析】由已知 a2，b 3，所以 c a2b2 431，|F1F2|2c2.在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入解得|PF1|65.所以 SPF1F212|PF1|F1F2|sin 12012652 32 3 3
4、5，即PF1F2 的面积是35 3.8椭圆的定义是解决椭圆问题的出发点，它是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，可对一些距离进行有效的转化，因此在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点距离时，先想到利用定义进行求解，会有事半功倍之效1椭圆 x2100y2641 的焦点分别为 F1，F2，椭圆上的点 P满足F1PF260，则F1PF2 的面积是()A.64 33 B91 33C16 33 D643【答案】A【解析】|PF1|PF2|2a20，又|F1F2|2c12.由余弦定理知(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即 144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|.所以|P
5、F1|PF2|2563.所以 SF1PF212|PF1|PF2|sin 6064 33.【解题探究】用待定系数法求椭圆方程求椭圆的标准方程【例 2】求中心在原点，焦点在坐标轴上且经过两点P13，13，Q0，12 的椭圆的标准方程【解析】设所求椭圆的方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)依题意，可得A132B1321，B1221A5，B4.故所求椭圆的方程为 5x24y21.所以所求椭圆的标准方程为y214x2151.8运用待定系数法求椭圆的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型，再定量，若焦点位置不确定时，考虑是否有两解有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2ny21(m0，n0，m
6、n)，避免讨论，应掌握这种设法上的技巧2求经过点 A(3，3)，B(2,3)的椭圆的标准方程【解析】设所求椭圆方程为x2my2n1(m0，n0，mn)，将 A(3，3)，B(2,3)代入，得9m3n1，4m9n1，解得m232，n695.所以所求椭圆的标准方程为x2232y26951.【示例】已知x2sin y2cos 1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围忽视椭圆方程的条件致误【错解】将已知方程化为 x21sin y21cos 1.1sin 0，1cos 0sin 0，cos 0.2b20.【正解】将椭圆方程化为标准方程：x21sin y21cos 1.椭圆的焦点在 y 轴上，1sin
7、 0，1cos 0，1cos 1sin sin 0，cos cos sin 0，cos 0，tan 1.又 0，234.所求 的取值范围是2，34.【警示】焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)1求椭圆方程的方法：(1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用待定系数法或定义法求得(2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方程2重视数学思想、方法的运用，优化解题思维，简化解题过程(1)数形结合思想：根据平面几何知识，通过观察发现各量之间的关系，
8、将位置关系转化为代数数量关系进而转化为坐标关系，从而建立关系式(2)转化思想：根据题目条件转化为椭圆定义或坐标关系，简化解题步骤1设 P 是椭圆x29y241 上的点，若点 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B6 C8 D10【答案】B【解析】根据椭圆的定义知|PF1|PF2|2a236.故选 B2已知椭圆的焦点在 x 轴上，ab10 且焦距为 4 5，则此椭圆的标准方程为()A.x236y2161 Bx216y2361C.x26y241 Dy26x241【答案】A【解析】由 ab10，a2b2(2 5)2，得 a6，b4.又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆方程为x2
9、36y2161.故选 A.3椭圆x225y291 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是MF1 的中点，则|ON|等于()A2B4C8D1.5【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为 F2，则|ON|12|MF2|12(2a2)4.故选 B.4椭圆x24y231 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B.当FAB 的周长最大时，FAB 的面积等于_【答案】3【解析】如图所示，设椭圆右焦点为F，直线 xm 与 x 轴相交于点 C.由椭圆的定义，得|AF|AF|BF|BF|2a4.而|AB|AC|BC|AF|BF|，所以当且仅当 AB 过点 F时，FAB 的周长最大此时由 c1，得 A1，32，B1，32，即|AB|3.所以 SFAB12|AB|FF|3.点击进入WORD链接