1、第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用2.2.2 事件的相互独立性1了解两个事件相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能利用公式解决简单的问题(重点)2通过本节的学习，体会相互独立事件的概率在实际生活中的应用(难点)1相互独立事件的定义设A、B为两个事件，如果P(AB)_，则称事件A与事件B相互独立由相互独立事件定义知，若事件A与B相互独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，且事件B的发生不会影响事件A发生的概率P(A)P(B)2相互独立事件性质的推导如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B、A 与 B、A 与 B 也都相互独立证明：事件 A 与 B 相互独立，P
2、(AB)P(A)_，P(A B)P(AB)P(A)，P(B)P(B)1，P(A B)P(A)P(AB)P(A)_P(A)(1P(B)P(A)P(B)A与 B 相互独立请自己写出 P(A B)P(A)P(B)，P(A B )P(A)P(B)的推证过程P(B)P(A)P(B)1从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，则23等于()A2 个球不都是红球的概率B2 个球都是红球的概率C至少有 1 个红球的概率D2 个球中恰有 1 个红球的概率答案：C解析：A 选项中的概率 P1131256，B 选项中的概率 P131216，C 选项中的概率 P1112
3、 113 23，D 选项中的概率 P13112 113 12161312.2若 P(AB)19，P(A)23，P(B)13，则事件 A 与 B 的关系是()A事件 A 与 B 互斥B事件 A 与 B 对立C事件 A 与 B 独立D事件 A 与 B 既互斥又独立答案：C解析：因为 P(A)23，所以 P(A)13，又 P(B)13，P(AB)19，所以有 P(AB)P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 独立但不一定互斥.3已知 A、B 是相互独立事件，且 P(A)12，P(B)23，则P(A B)_；P(A B)_.解析：A、B 是相互独立事件，A 与 B，A 与 B 也是相互独立事件又P(A
4、)12，P(B)23，故 P(A)12，P(B)12313，P(A B)P(A)P(B)121316；P(A B)P(A)P(B)121316.答案：16，164甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是_解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1(1P1)(1P2)答案：1(1P1)(1P2)1对事件相互独立性的两点说明(1)前提：在应用公式P(AB)P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，即各事件必须相互独立(2)推广：一般地，如果事件A1，A2
5、，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)相互独立事件2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件 A，B同时发生，记作：AB互斥事件 A，B 中有一个发生，记作：AB(或 AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互
6、独立事件(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断两个事件是否相互独立的判断【想一想】(1)若两个事件相互独立，是否就说明这两个事件间没有任何关系？提示：不是若两事件A，B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系，并不是说事件A，B间没有关系，相反，若事件A，B相互独立，则事件AB0，即事件A，B不互斥(2)能否利用P(B|A)P(B)来定义相互独立的概念？提示：不能原因是这个等式的适用范围是P(A)0，否则P(B|A)没有意义判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲
7、组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”事件独立性的判断思路探究 利用相互独立事件的定义判断自主解答(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，
8、则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记 A：出现偶数点，B：出现 3 点或 6 点，则 A2,4,6，B3,6，AB6，P(A)3612，P(B)2613，P(AB)16.P(AB)P(A)P(B)，事件 A 与 B 相互独立1利用相互独立事件的定义(即P(AB)P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握2判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件1一个
9、家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为14.这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)于是 P(A)12，P(B)34，P(AB)12.由此可知 P(AB)P(A)P(B)所以事件 A，B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形
10、为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A)6834，P(B)4812，P(AB)38，显然有 P(AB)38P(A)P(B)成立从而事件 A 与 B 是相互独立的 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到
11、某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码相互独立事件同时发生的概率思路探究 明确已知事件的概率及其关系把待求事件的概率表示成已知事件的概率 选择公式计算求值自主解答 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)P(A)P(B)0.050.050.002 5.(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B)(A B)表示由于事件 A B 与 A B 互
12、斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.05(10.05)(10.05)0.050.095.(3)方法一“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)(A B)(A B)表示由于事件 AB，A B和 A B 两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为 P(AB)P(A B)P(AB)0.002 50.0950.097 5.在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件 A
13、、B，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，那么：A、B 中至少有一个发生的事件为 AB；A、B 都发生的事件为 AB；A、B 都不发生的事件为 A B；A、B 恰有一个发生的事件为 A B A B；A、B 中至多有一个发生的事件为 A B A B A B.2制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任意抽一件试问：(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？解：分别用 A、B 表示从甲、乙机床的产品抽得正品，C表示抽得的两件产品中恰有一件是正品，则 CA B AB.由题意知，A，B 是相互独立事件，故(1)两件都是正品的概率为P
14、(AB)P(A)P(B)0.960.950.912.(2)恰有一件正品的概率为P(C)P(A B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.96(10.95)(10.96)0.950.086.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率思路探究 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值相互独立事
15、件的实际应用自主解答设“甲胜 A”的事件为 D，“乙胜 B”的事件为E，“丙胜 C”的事件为 F，则 D，E，F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知，P(D)0.4，P(E)0.5，P(F)0.5.(1)红队有且只有 1 名队员获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，以上 3 个事件彼此互斥且各盘比赛的结果相互独立红队有且只有一名队员获胜的概率 P1P(D EF DE F DE F)P(D EF)P(D E F)P(D E F)0.40.50.50.60.50.50.60.50.50.4.(2)方法一：
16、红队至少 2 人获胜的事件有：DE F，D E F，DEF，DEF.由于以上 4 个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少 2 人获胜的概率为 PP(DE F)P(D EF)P(D EF)P(DEF)0.40.50.5 0.40.50.5 0.60.50.50.40.50.50.45.方法二：“红队至少 2 人获胜”与“红队最多 1 人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F，且 P(DEF)0.60.50.50.15.红队至少 2 人获胜的概率为 P21P1P(D E F)10.40.150.45.1本题(2)中用到直接法和间接法当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法2
17、求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理 清 各 事 件 之 间 的 关 系，恰 当 地 用 事 件 间 的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：如图所示，记这段时间内开关 JA，JB，JC 能够闭合为事件 A、B、C由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3 个开关都不能
18、闭合的概率是 P(A B C)P(A)P(B)P(C)1P(A)1P(B)1P(C)(10.7)(10.7)(10.7)0.027.于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是 1P(A B C)10.0270.973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的(列表比较)互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响概率公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(十二)谢谢观看！