1、11.2弧 度 制预习课本P69，思考并完成以下问题 (1)1弧度的角是如何定义的？ (2)如何求角的弧度数？ (3)如何进行弧度与角度的换算？ (4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？ 1角的单位制(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值|.点睛用弧度为单位
2、表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度3602_rad 2 rad360180_rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.30度数弧度数弧度数度数3弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制lS弧度制lr(02)Slrr2(02)点睛由扇形的弧长及面积公式可知：对于，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)1弧度1.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用弧度制度
3、量角，与圆的半径长短有关()答案：(1)(2)(3)2若k，kZ，则所在的象限是()A第一、二象限B第二、三象限C第一、三象限 D第一、四象限答案：C3半径为1，圆心角为的扇形的面积是()A BCD答案：D4(1)_；(2)210_.答案：(1)120(2)角度与弧度的换算典例把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).解(1)7272.(2)300300.(3)22.(4)40.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数活学活用将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)10；(4)8
4、55.解：(1)18015 330.(2)180105.(3)1010.(4)855855.用弧度制表示角的集合典例已知角2 005.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在5，0)内找出与终边相同的角解(1)2 0052 005 rad radrad，又，角与终边相同，是第三象限的角(2)与终边相同的角为2k(kZ)，由52k0，kZ知k1，2，3.在5，0)内与终边相同的角是，.用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用活学活用1将1 125表示成2k，02，kZ的形式为_解析：因为1 125436
5、0315，315315，所以1 1258.答案：82用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合解：如图，330角的终边与30角的终边相同，将30化为弧度，即，而7575，终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60，求扇形的弧长和面积解：已知扇形的圆心角60，半径r10 cm，则弧长lr10(cm)，于是面积Slr10(cm2)题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角解：设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l cm，半径为r
6、cm，依题意有由，得r2，l82r4，2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(02)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r2，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些
7、量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解提醒运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度层级一学业水平达标1把50化为弧度为()A50BC D解析：选B5050.2扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是()A16 B32C16 D32解析：选C弧长l2r,4r16，r4，得l8，即Slr16.3角的终边落在区间内，则角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C3的终边在x轴的非正半轴上，的终边在y轴的非正半轴上，故角为第三象限角4时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()A BC D解析：选B显然分针在1点
8、到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为2.5下列表示中不正确的是()A终边在x轴上的角的集合是|k，kZB终边在y轴上的角的集合是C终边在坐标轴上的角的集合是D终边在直线yx上的角的集合是解析：选D终边在直线yx上的角的集合应是.6135化为弧度为_，化为角度为_解析：135135，180660.答案：6607扇形的半径是，圆心角是60，则该扇形的面积为_解析：60，扇形的面积公式为S扇形r2()2.答案：8设集合M，N|，则MN_.解析：由，得k.kZ，k1,0,1,2，MN.答案：9一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4.根据
9、扇形面积公式SlR，得1lR.联立解得R1，l2，2.10将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角(1)1 725；(2)60360k(kZ)解：(1)1 7257553605210，是第一象限角(2)60360k602k2k(kZ)，是第四象限角层级二应试能力达标1下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D化成度是15解析：选C对于A,6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故C错误2集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ，所以选C.3若
10、角与角x有相同的终边，角与角x有相同的终边，那么与间的关系为()A0 B0C2k(kZ) D2k(kZ)解析：选Dx2k1(k1Z)，x2k2(k2Z)，2(k1k2)(k1Z，k2Z)k1Z，k2Z，k1k2Z.2k(kZ)4圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A BC D2解析：选C如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数.5若角的终边与角的终边相同，则在0,2上，终边与角的终边相同的角是_解析：由题意，得2k，(kZ)令k0,1,2,3，得，.答案：，6已知一扇形的圆心角为rad，半径为R，则该扇形的内切圆面
11、积与扇形面积之比为_解析：设扇形内切圆的半径为r，扇形的圆心角为，半径为R，S扇形R2R2.扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，Rr2r3r，r.S内切圆r2R2，S内切圆S扇形R2R223.答案：237已知1 690，(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式；(2)求，使与终边相同，且(4，4)解：(1)1 690436025042.(2)与终边相同，2k(kZ)又(4，4)，42k4.解得k(kZ)，k2，1,0,1.的值是，.8已知扇形AOB的圆心角为120，半径长为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积解：(1)因为120，所以lr64，所以弧AB的长为4.(2)因为S扇形AOBlr4612，如图所示，过点O作ODAB，交AB于D点，于是有SOABABOD26cos 3039.所以弓形的面积为S扇形AOBSOAB129.