1、课后素养落实(八)空间中的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A2BCDC取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F(0，0，2)，所以，EF|2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()ABCDB建立如图所示空间直角坐标系，则(0，2，0)，(0，1，2)cos sin 故点A到直线BE的距离d|sin 2故答案为B3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到
2、平面ACD1的距离为()A1BCDB建立如图所示的空间直角坐标系，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，E(2，2，0)，则(2，0，2)，(0，4，2)，(2，2，2)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则z2，x2，n(2，1，2)，d4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()AaBaCaDaD由正方体的性质，易得平面AB1D1平面BDC1， 则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B
3、(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，(a，a，a)，(0，a，0)，连接A1C，由A1C平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n(1，1，1)，则两平面间的距离da5已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1EA1B，B1FB1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为()AaBaCaDaB如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得E，F，故，(a，0，0)，(0，a，a)设n(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，由令z1，得n(0，1，1)n(0，1，1)0，n，故EF平面ABC1D1又，n(0，1，1)a，da二、填
4、空题6已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60，则A，C1两点间的距离是_2设a，b，c，易得abc，则|2(abc)(abc)a22ab2ac2bcb2c244444424，所以|27已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为_建立如图所示的空间直角坐标系，则(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)，所以P点到AB的距离为d8如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，
5、0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则，(0，1，0)，(0，1，1)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，1)，则有解得n，则所求距离为三、解答题9在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA1AD1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF平面EC1D(1)求BP的长；(2)求点P到平面EC1D的距离解(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)，设P(a，b，1)，0，1，(0，1，1)，(1，1，0)，(1，2，0)，则(
6、a1，b，0)(，2，0)，P(1，2，1)，(，12，0)，设平面DEC1的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1，1，1)，PF平面EC1D，n120，解得，P，BP的长|(2)由(1)得平面DEC1的法向量n(1，1，1)，点P到平面EC1D的距离d10如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离解(1)因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2连接OB，如图因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2由OP2OB2PB2知，O
7、POB由OPOB，OPAC，OBACO，知PO平面ABC(2)如图所示，以O为原点，直线OB为x轴，直线OC为y轴，直线OP为z轴，建立空间直角坐标系，因为MC2MB，所以M点坐标为，C(0，2，0)，P(0，0，2)，O(0，0，0)，(0，0，2)，设平面POM的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则可得平面POM的一个法向量为m(1，2，0)又(0，2，0)，所以点C到平面POM的距离d1设ABCABC是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面ABBA的中心点，则P到侧面ACCA的对角线的距离是()ABCDC法一：如图，连接AB，在ABC中，过P作PHAC，垂足为HAB，AC，BC1，则
8、由余弦定理知cosBAC，从而sinBAC，PHAPsinBAC即P到侧面ACCA的对角线的距离是法二：如图，连接AB，以A为坐标原点，的方向分别为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意知A(0，0，0)，A(0，0，1)，B，C(1，0，1)，(1，0，1)P是侧面ABBA的中心点，即AB的中点，P，则有故在上的投影的大小为，P到侧面ACCA的对角线的距离d2如图所示，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()ABCDC建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)
9、，C1(0，1，2)根据题意，可设点P的坐标为(0，2)，0，1，点Q的坐标为(1，0)，0，1，则PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值3如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD，且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离为_，二面角ABEC的余弦值为_如图，以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF，B(1，2，0)，(0，2，0)，(1，1)设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则得y0，xz，
10、不妨取n(1，0，1)(0，0，2)，A1B1到平面ABE的距离d又B1(1，2，2)，(0，0，2)，(1，0)设平面BCE的一个法向量为n(x，y，z)，易得xy，z0，取n(，1，0)，n与n所成的角为，则cos 4设棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M在棱C1C上滑动，则点B1到平面BMD1的距离的最大值是_a如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D1(0，0，a)，B(a，a，0)，B1(a，a，a)，设M(0，a，b)(0ba)，则(0，0，a)，(a，0，b)，(a，a，a)，设平面BMD1的法向量为n(x，y，z)，则即令xb，得平面BMD1的一个法向量为n
11、(b，ab，a)，点B1到平面BMD1的距离为d，当ba时，d取最大值，即dmaxa已知PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，点E，F分别为PA，PD的中点问在CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由解以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，从而(0，1，0)，(0，0，1)假设在CD上存在一点Q满足条件，设点Q(x0，2，0)，其中0x02，则(x0，2，1)，设平面EFQ的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，得平面EFQ的一个法向量为n(1，0，x0)，所以点A到平面EFQ的距离为，解得x0，所以点Q，所以，则|所以在CD上存在一点Q满足条件，且CQ的长为