1、2.5等差数列的前n项和（第1课时） 学习目标 1掌握等差数列前项和公式及其推导思路；2会用等差数列前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题；3通过公式的推导和运用，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律 要点精讲 1高斯是伟大的数学家，天文学家高斯十岁时，有一次老师出了一道题目：高斯求和法：因为，所以2在等差数列中，有性质：，对于，两式相加，得，所以前项和3设等差数列的首项是，公差是，则通项公式则前项和公式用首项、公差表示为 范例分析 例1在等差数列中，（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求及。例2一个等差数列的前项之和为，前项和为，求它的前项之和（请用二种以上不同的方法解答）
2、例3已知数列的前项和，若是等差数列，求的值及数列的通项公式例4设等差数列的前项和为，且， （1）求和；（2）求； （3）求*规律总结 1在等差数列的通项公式与前项和公式中，含有，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量即“知三求二”。2将等差数列通项公式代入中，得3在等差数列中，前项和设为，则也成等差数列4等差数列的通项公式是关于的一次函数的形式；前项和公式是关于的二次函数的形式对于前项和的数列，当且仅当，数列为等差数列 基础训练 一、选择题1在等差数列中，公差，则等于（ ）A、 B、 C、 D、2一堆摆放成形的铅笔的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比下面一层多放一支，最上面一层
3、放支，这个形架上共放着铅笔（ ）A、支 B、支 C、支 D、支3等差数列中，是前项的和，若，则 （ ）A、15 B 、18 C 、9 D 、124把正偶数以下列方法分组：（2），（4，6），（8，10，12），其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（ ）A、 B 、 C 、 D 、5已知数列、都是公差为的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前项和等于（ ）A B C D二、填空题6已知数列的前项和，若是等差数列，则 7数列的通项公式，则由所确定的数列 的前项和是_8凸边形的各内角的度数成等差数列，最小角为，公差为，那么等于 三、解答题9（1）已知数列的前项和满足，
4、求证是等差数列；（2）已知等差数列的前项和为，求证数列也成等差数列10在等差数列中，已知，（1）求和； （2）设，求数列的前项和 能力提高 11已知等差数列满足：，则 。（其中是不相等的正整数）。12设无穷等差数列的前项和为 （1）若首项，公差，求满足的正整数k；（2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立22 等差数列的前项和（第1课时）12答案例1（1）根据等差数列前项和公式，得（2）根据等差数列前项和公式，得（3）由得代入后化简，得所以或（舍去），从而例2解1：利用等差数列的基本量：公差和首项，选用公式，则有，即 又解题目标由可得，从而解2：利用待定系数法，选用公式，有，即 又
5、解题目标由可得，从而解3：根据公式，构造新数列，则（常数），从而数列成等差数列，结合公式，有，从而，得解4：因为，所以，选用公式，有解5：构造新数列：，则也成等差数列，设其公差为，则它的前项和，因为，可得，从而例3解：因为若是等差数列，所以，即，此时；当时，；当时，也适合；故数列的通项公式为例4设等差数列的首项是，公差是，则，解得：（1）（2） （3）当时，；当时， 基础训练 1C 提示：，2B 提示：3D 解：因为，所以，得，4A 提示：，那么第11组的第2个数是第个偶数，为5C 解：，前项和等于6 提示：等差数列的前项和形式是。 7 解：，前项和是8解：凸边形的内角和，另一方面，解得或，但
6、当时，与凸边形的内角小于矛盾9解：（1），当时，两段可合并为，取数列中任意相邻两项与，求差得是一个与无关的常数，是等差数列，首项，公差（2），所以故；所以数列也成等差数列10（1）因为，所以，公差，故，（2），当时，当时， 能力提高 11 提示： 整理得12解：（1）当时，由， 即 又.（2）设数列的公差为，则在中分别取，得 （2）由 得 当时，代入，得或若成立若，故所得数列不符合题意.当若 若综上，共有个满足条件的无穷等差数列：；：；： 第二章 数列22 等差数列的前项和（第2课时） 学习目标 1进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；2了解等差数列的性质，并能利用性质简化求和、求通项
7、的运算；3会用函数观点看待数列问题，体会函数思想对解决数列问题的指导作用 要点精讲 1在等差数列中，序号成等差数列的项构成一个新的等差数列如在等差数列中，也依次成等差数列，其首项是，公差是，前项和3记等差数列的前偶数项和为，数列前奇数项和为当项数为时，则有，；当项数为时，则有，4设、是两个等差数列，它们的前项和分别为、，则5等差数列前项和公式为，由等差数列的性质可得：， 范例分析 例1（1）等差数列共有项,其中奇数项的和为，偶数项的和为，且，求该数列的公差。 （2）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，求。 例2（1）设是等差数列的前项和，若，则 （ ） A、 B、 C 、 D、（2）数列是
8、等差数列，,则使的最小的的值是（ ）A、 B、 C 、 D、（3）设等差数列的前项和为，若，求的值例3（1）在等差数列中，公差，求数列的前项和为的最小值（2）设等差数列的前项和为，已知，则当公差时， 有最 值 ；当公差时，有最 值 （3）等差数列中，公差，则前项和取最大值时，的值为_ 例4设等差数列的前项和为，已知，（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个最大，并说明理由 规律总结 1在等差数列中，前项和设为，则依次成等差数列2在等差数列中，有关的最值问题：（1）当，时，满足的项数使得取最大值（2）当，时，满足的项数使得取最小值（3）由利用二次函数配方法求得取最值时的值 基础训练 一、选择题
9、1已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为（ ）A B C D 2在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ）A B C D3等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为( )A B C D 4设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论错误的是（ ）A B公差 C D与是的最大值5一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为千克，已知最轻的一只羊重千克，除去一只千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有（ ）A只 B只 C只 D只二、填空题6已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则这两个数列的第九项之比 7在等差数列中，前项和为，若取得最大值，则
10、 图片打不开，修改。三、解答题8已知等差数列的首项为，前项的和为。记为的前项和，问有无最大值，若有指出是前几项的和，若没有说明理由。9设等差数列的前项和，已知与的等差中项是，且，求等差数列的通项 能力提高 10观察： （1）第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？（2）计算第行的值22 等差数列的前项和（第2课时）13答案例1（1）解：由已知，所以（2）。例2（1）A 解：（2）B 解：由知，故使的最小的的值是（3），所以例3（1）法1：，二次函数的对称轴是，所以当或时最小，最小值是。法2：因为，所以数列是递增的，把所有非正项加起来是的最小值因为，解，得，所以当或时最小，最小值是。（2）大
11、，；小，提示：等差数列的前项和是关于的二次函数，当公差时，图像开口向下，由知对称轴为，所以当或时最大，最大值是。同理，当公差时，当或时最小，最小值是。（3） 提示：，所以最大。例4解：（1），解得，由，即，且，解之得（2）法1：因为，所以为递减数列，由，易知，故最大法2：，对称轴为，所以当时，最大即最大 基础训练 1C 解：由已知，故 2A 提示：，3C 提示：在等差数列中，前项和设为，则依次成等差数列，所以依次成等差数列，故4A 提示：由得，所以，故错。5A 提示：，讨论得。这群羊共有只。6 提示： 7或 提示：由得，8，所以前18、19项和相等且最大。9解：设，则，由已知，解得或故等差数列的通项或 能力提高 10（1）第100行是199个数的和，这些数的和是10000（2）第行的值全 品中考网
