1、课后素养落实(四十九)平面与平面垂直的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是()A60B120C60或120 D不确定CPE，PF，P，E，F三点确定的平面垂直于和.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知lOF且P，E，O，F四点共面，则FOE为二面角的平面角，如图1所示图1此时，FOEEPF180，所以二面角l的平面角为120.当点P的位置如图2所示时，图2此时FOEEPF，所以二面角l的平面角为60.2.如图，设平面平面PQ，EG平面，FH平面，垂足分别为G，H.为使PQGH，则
2、需增加的一个条件是()AEF平面BEF平面CPQGEDPQFHB因为EG平面，PQ平面，所以EGPQ.若EF平面，则由PQ平面，得EFPQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ平面EFHG，所以PQGH，故选B.3设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下命题，其中正确命题的个数为()若，m，n，nm，则n；若，则；若，m，m，则m；若，m，则m.A1 B2C3 D4B根据平面与平面垂直的性质知正确；中，可能平行，也可能相交，不正确；中，m，m时，只可能有m，正确；中，m与的位置关系可能是m或m或m与相交，不正确综上，可知正确命题的个数为2，故选B.4在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，
3、已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1()A平行 B共面C垂直 D不垂直C如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD.BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.5.如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是()A BC DB如图，作AO于O，ACl于C，连接OB，OC，则OCl，则ACO为二面角l的平面角，ABC为AB与l所成的角设AB与所成的角为，则ABO.由图得sin sin 30
4、sin 60.二、填空题6.如图，在正方体ABCDABCD中：(1)二面角DABD的大小为_(2)二面角AABD的大小为_(1)45(2)90(1)在正方体ABCDABCD中，AB平面AD，所以ABAD，ABAD，因此DAD为二面角DABD的平面角在RtDDA中，DAD45，所以二面角DABD的大小为45.(2)因为AB平面AD，所以ABAD，ABAA，因此AAD为二面角AABD的平面角，又AAD90，所以二面角AABD的大小为90.7已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_90如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连接DE，
5、AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角易得AEDE，又AD2，所以DE2AE2AD2，即DEA90，即所求二面角的大小为90.8.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos cos _由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.三、解答题9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值解如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D
6、1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tan BOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAB为正三角形，且侧面PAB底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上(1)当M是线段PD的中点时，求证：PB平面ACM；(2)求证：PEAC.证明(1)连接BD，交AC于点O，连接MO，M为PD中点，O为BD中点，PBMO.又MO面ACM，PB面ACM，PB面ACM.(2)PAB为正三角形，E为AB的中点，PEAB.又面PAB面ABCD且相交于AB，PE面A
7、BCD，又AC面ABCD，PEAC.11.如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部A在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.12在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A2 B2C4 D4B如图，连接CM，则由题意PC平面ABC，可得PCCM，所以PM ，要求PM的最小值只需
8、求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.13.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_如图，连接BC，二角面l为直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23，又BDCD，CD.14.如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_6CACB，O为AB的中点，COAB.又平面ABC平面ABD，交线为AB，CO平面ABD.OD平面ABD，COOD，COD为直角三角形所以图中的直角三角形有AOC，C
9、OB，ABC，AOD，BOD，COD共6个15.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值解(1)证明：平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，BCAC，BC平面ACDE.又AM平面ACDE，BCAM.四边形ACDE是正方形，AMCE.又BCCEC，AM平面EBC.(2)如图，取AB的中点F，连接CF，EF.EAAC，平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，EA平面ABC，CF平面ABC，EACF.又ACBC，CFAB.EAABA，CF平面AEB，CEF即为直线EC与平面ABE所成的角在RtCFE中，CF，FE，tan CEF.