1、二十五简单的三角恒等变换(30分钟60分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1如果|cos |，3，那么sin 的值为()A BC D【解析】选D.因为|cos |，3，所以cos ，sin 0，cos 2cos21，cos2，所以sin.2如果是第一象限角，那么恒有()Asin0 Btan 1Csin cos Dsin cos 【解析】选B.因为是第一象限角，所以2k2k，所以kk(kZ)，所以当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；当在第三象限时，A，D不满足，故排除；当在第一象限时，C不满足；根据正切函数的单调性知，所以tan tan k1，B满足条件3著名数学家华罗庚先生
2、被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t0.618还可以表示成2sin 18，则()A4 B1 C2 D【解析】选D.因为由题意可得：t2sin 18，所以.4(多选题)已知f(x)12cos2(0)，下面结论正确的是()A若f(x1)1，f(x2)1，且|x1x2|的最小值为，则2B存在(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C若f(x)在0，2上恰有7个零点，则的取值范围是D若f(x)在上单调递增，则的取值范围是【解析】选BCD.因为f(x)12cos2cossin ，所以周期T.A.由条件
3、知，周期为2，所以w，故A错误；B.函数图象右移个单位长度后得到的函数为ysin ，其图象关于y轴对称，则k(kZ)，所以13k(kZ)，故对k1，存在2(1，3)，故B正确；C.由f(x)sin (2x)且f(x)在0，2上恰有7个零点，可得2，所以，故C正确；D由条件，得，所以，又0，所以0，故D正确二、填空题(每小题5分，共10分)5已知为第二象限角，且，则tan _，sin _【解析】因为为第二象限角，且，所以tan ，又 sin2cos21，所以sin，cos ，所以sin sin cos cos sin ，cos cos cos sin sin .所以tan 3.因为sin ，co
4、s ，sinsin cos cos sin .答案：36记A，B，C为ABC的内角，若3，则_；若cos B，cos C是方程5x23x10的两根，则sin Bsin C_【解析】由已知得1sin A3cos A0，再由sin2Acos2A1，联立化简cosA，sin A，则2；由题知cos Bcos C，cos B cos C，将式平方得cos2B2cosB cos Ccos2C，得cos2Bcos2C2，sinB sin C，.答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)7当(2k1)，kZ时，等式tan恒成立，我们把这个恒等式叫“半角公式”(1)证明上述半角公式；(2)若，都是锐角，co
5、s ，cos ()，试求tan 的值【解析】(1)右边tan 左边；(2)因为，都是锐角，cos ，cos ()sin ，因为0sin ()，所以sin sin ()sin ()cos cos ()sin ，所以cos ，所以tan .8已知函数f(x)cos x(sin xcos x)(0).(1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)在区间0，上恰有两个实数解，求的取值范围【解析】(1)f(x)cos x(sin xcos x)sin 2x(1cos 2x)sin .由1sin (2x)1，得f(x)的值域是.(2)因为0x，所以2x2，由正弦函数的图象可知，f(x)在区间0，上恰有两个实数解，必须223，解得.9已知正实数a，b满足tan，求的值【解析】方法一：由题设得tan .方法二：因为asinb cos sin ，acosbsincos，其中tan ，由题设得tan tan .所以k，kZ，即k，kZ，所以tan tan tan.方法三：原式可变形为tan，令tan ，则有tan tan ，由此可得k(kZ)，所以k，(kZ)，所以tan tan tan，即.