1、13.3函数的最大(小)值与导数(一)学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大(小)值与导数如图为函数yf(x)，xa，b的图象思考1观察区间a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和
2、最小值(2)一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值()2函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()类型一求函数的最值例1求下列各函数的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x
3、1)(x1)0，得x1，x0，x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值极小值极大值5当x3时，f(x)取最小值60；当x1或x1时，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1内恒大于0，f(x)在1,1上为增函数故当x1时，f(x)min12；当x1时，f(x)max2.即f(x)的最小值为12，最大值为2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正
4、确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练1求下列函数的最值(1)f(x)；(2)f(x)xsin x，x0,2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)，当f(x)0时，x2，当f(x)0时，x2，当f(x)2.所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x2时，f(x)maxf(2).(2)f(x)cos x，x0,2，令f(x)0，得x或x.因为f(0)0，f(2)，f，f，所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0，当x2时，f(x)有最大值f(2).例2已知函数f
5、(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值解因为f(x)exax2bx1，所以g(x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(
6、x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为1b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为e2ab.引申探究1若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解因为a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因为x0,1，解得xln 2，已知当xln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln
7、 2.2当b0时，若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0，求a的值解当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1，不符合题意(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a不符合题意，舍去(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所
8、以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2a0，解得a.反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，
9、从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的
10、应用跟踪训练3已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)3e时，f(x)0；当0x0.f(x)极大值f(e)，且函数在定义域内只有一个极值，所以f(x)max.4函数f(x)2x36x2m(m是常数)在区间2,2上有最大值3，则在区间2,2上的最小值为_考点导数在最值问题中的应
11、用题点已知最值求参数答案37解析f(x)6x212x6x(x2)，由题意知，在区间2,2上，x0是f(x)的最大值点，f(x)maxf(0)m3.f(2)1624337，f(2)162435，f(x)min37.5已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用解(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.(2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(
12、，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值，f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值，f(2)c16.由题设条件知16c28得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4.因此，f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)()A等于0 B小于0C等
13、于1 D不确定考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求导数答案A解析因为Mm，所以f(x)为常数函数，故f(x)0，故选A.2函数f(x)x44x(|x|1)()A有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案D解析f(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1(1,1)，该方程无解，故函数f(x)在(1,1)上既无极值也无最值，故选D.3函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案B解析由f(
14、x)0，得x1，且当x(0,1)时，f(x)0，当x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.4若函数f(x)asin xsin 3x在x处有最值，则a等于()A2 B1C. D0考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案A解析f(x)在x处有最值，x是函数f(x)的极值点又f(x)acos xcos 3x，facos cos 0，解得a2.5已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答
15、案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a)6已知函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案C解析由题意知a2，令f(x)2x20，则x1.当a1时，最大值为4，不符合题意当1a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1
16、.f(x)2x24x3，f(1)2435.又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.10函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，所以f(x)在上是增函数，故f(x)的最大值为f，f(x)的最小值为f(0).11已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案1解析由题意知，当x(0
17、,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0，得0x1，令f(x)1，所以f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在上的最大值为f(1).四、探究与拓展14已知函数f(x)x3x2xm在0,1上的最小值为，则实数m的值为_考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(x)0，即函数f(x)在(1，1)上是减函数，即f(x)在0,1上为减函数，故f(x)在0,1上的最小值为f(1)，所以11m，解得m2.15已知函数f(x)ln x.(1)
18、当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)当x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾；综上所述，a的值为.