1、考纲解读 1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点)2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的必考点.预测 2020年将会考查：求二项式的特定项或项的系数；求二项式系数的最大项或二项式系数的和；与其他知识进行综合考查.题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.基础知识过关 1二项式定理2二项式系数的性质3.常用结论(1)C0nC1nC2nCnn2n.(2)C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1.(3)C1n2C2n3C3nnCnnn2n1.(4)CrmC0nCr1m
2、 C1nC0mCrnCrmn.(5)(C0n)2(C1n)2(C2n)2(Cnn)2Cn2n.1概念辨析(1)(ab)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项(ab)2n 中系数最大的项是第 n 项()(3)(ab)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则 a7a6a1 的值为128.()2小题热身(1)x 12 x8 的展开式中常数项为()A.3516B.358C.354D105答案 B答案 解析 二项展开式的通项为Tk1Ck8(x)8k12
3、xk12kCk8x4k，令 4k0，解得 k4，所以 T5124C48358.解析(2)(xy)n 的二项展开式中，第 m 项的系数是()ACmnBCm1nCCm1nD(1)m1Cm1n答案 D答案 解析(xy)n 的二项展开式中第 m 项的通项公式为TmCm1n(y)m1xnm1，所以系数为 Cm1n(1)m1.解析(3)若(x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a0 的值为()A1 B0 C1 D2答案 A答案 解析 令 x0 得，(1)5a0，即 a01.解析(4)若x3 1xn 的展开式中所有二项式系数之和为 128，则 n_.答案 7答案 解析 由题意，可知 2n1
4、28，解得 n7.解析 经典题型冲关 题型 一 二项展开式 角度 1 求二项展开式中的特定项或系数1(1)(2018全国卷)x22x5 的展开式中 x4 的系数为()A10 B20 C40 D80(2)(2019茂名模拟)已知 a02cosxdx，则ax 1ax6 展开式中，常数项为_答案(1)C(2)20答案 解析(1)由题可得 Tr1Cr5(x2)5r2xrCr52rx103r.令 103r4，则 r2，所以 Cr52rC252240，故选 C.(2)因为 a02cosxdxsinx201，ax 1ax6 展开式的通项为 Tr1Cr6(ax)62r.令 62r0，解得 r3，代入得到常数项
5、为 20.解析 角度 2 已知二项展开式某项的系数求参数2(1)已知(2ax)(12x)5 的展开式中，含 x2 项的系数为 70，则实数 a的值为()A1 B1 C2 D2(2)记2x1xn的展开式中第m项的系数为bm.若 b32b4，则n_.答案(1)A(2)5答案 解析(1)(12x)5 展开式的通项公式为 Tr1Cr5(2x)r，所以(2ax)(12x)5 的展开式中，含 x2 项的系数为2C25(2)2aC15(2)70，解得 a1.(2)Tr1Crn(2x)nr1xr2nrCrnxn2r.b32b4，2n2C2n22n3C3n.C2nC3n，n5.解析 角度 3 多项展开式3(1)
6、(2015全国卷)(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10 B20 C30 D60(2)(2019陕西黄陵中学模拟)x1x2 5 展开式中 x2 的系数为()A120 B80 C20 D45答案(1)C(2)A答案 解析(1)(x2xy)5(x2x)y5 的展开式中只有 C25(x2x)3y2 中含x5y2，易知 x5y2 的系数为 C25C1330，故选 C.(2)x1x2 5x 1x2 5x 1x10.Tr1Cr10(x)10r1xrCr10 x5r.令 5r2 解得 r3.T4C310 x2120 x2，所以x1x2 5 展开式中 x2 的系数为 120.解析 1求二项展
7、开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将 Tk1项写出并化简(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 k.(3)代回通项得所求见举例说明 1.2求解形如(ab)m(cd)n 的展开式问题的思路(1)若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)n(a22abb2)(cd)n，然后分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)m，(cd)n 的通项公式，综合考虑3求形如(abc)n 展开式中特定项的四步骤1(2017全国卷)1
8、 1x2(1x)6 展开式中 x2 的系数为()A15 B20 C30 D35答案 C答案 解析 因为(1x)6 的通项为 Cr6xr，所以1 1x2(1x)6 展开式中含 x2 的项为 1C26x2 和 1x2C46x4.因为 C26C462C262652130，所以1 1x2(1x)6 展开式中 x2 的系数为 30.故选 C.解析 2若(1ax)7(a0)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 a_.答案 3答案 解析 展开式的通项为 Tr1Cr7(ax)r，因为 x5 与 x6 系数相等，所以 C57a5C67a6，解得 a3.解析 3(2018河南鹤壁月考)(xy)(x2yz)6
9、 的展开式中，x2y3z2 的系数为()A30 B120 C240 D420答案 B答案 解析(x2y)z6 的展开式中含 z2 的项为 C26(x2y)4z2，(x2y)4的展开式中 xy3 项的系数为 C3423，x2y2 项的系数为 C2422，(xy)(x2yz)6的展开式中 x2y3z2 的系数为 C26C3423C26C2422480360120.故选 B.解析 题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和1(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a1a2a3a4a5_.答案 33答案 解析 令 x1 得(2)5a0a1a2a3a4a532.令 x0 得，1a0；所
10、以 a1a2a3a4a533.解析 2(2018九江模拟)已知x 124 xn 的展开式中，前三项的系数成等差数列(1)求 n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项解(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C0n，12C1n，14C2n，由已知得 212C1nC0n14C2n，解得 n8(n1 舍去)(2)x 124 x8 的展开式的通项 Tr1Cr8(x)8r124 xr2rCr8x43r4(r0,1，8)，答案 要求有理项，则 43r4 必为整数，即 r0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1x4，T5358 x，T91256x2.(3)设第 r1 项的系数为 a
11、r1最大，则 ar12rCr8，则ar1ar 2rCr82r1Cr18 9r2r 1，ar1ar22rCr82r1Cr18 2r18r 1，答案 解得 2r3.当 r2 时，a322C287，当 r3 时，a423C387，因此，第 3 项和第 4 项的系数最大，故系数最大的项为答案 结论探究 1 举例说明 1 条件不变，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|_.答案 1024答案 解析(13x)5 各项系数之和为|a0|a1|a2|a3|a4|a5|.令 x1 得|a0|a1|a2|a3|a4|a5|451024.解析 结论探究 2 举例说明 1 条件不变，求 a0a2a4.解 令 x1
12、得(2)5a0a1a2a3a4a5，令 x1 得 45a0a1a2a3a4a5，两式相加得3210242(a0a2a4)，所以 a0a2a4496.答案 1赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都成立因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，1 或 0”，有时也取其他值如：(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 x1 即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶
13、数项系数和的求法(1)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1)(2)奇数项系数之和为a0a2a4f1f12.(3)偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.3求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(ab)n中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的
14、单调性求出系数的最值见举例说明 2.思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组akak1，akak1即可求得答案.1(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为_答案 3 或 1答案 解析 令 x0，则(2m)9a0a1a2a9，令 x2，则 m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3 或 m1.解析 2已知(3 xx2)2n 的展开式的二项
15、式系数和比(3x1)n 的展开式的二项式系数和大 992，则在2x1x2n 的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为_答案 8064 15360 x4答案 解析 由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故 2n32，解得 n5.由二项式系数的性质知，2x1x10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6C510(2x)51x58064.设第 k1 项的系数的绝对值最大，则Tk1Ck10(2x)10k1xk(1)kCk10210kx102k，解析 令Ck10210kCk110 210k1，Ck10210kCk110 210k1，得Ck1
16、02Ck110，2Ck10Ck110，即11k2k，2k110k，解得83k113.kZ，k3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项，T4C31027x415360 x4.解析 题型 三 二项式定理的应用1设复数 x 2i1i(i 是虚数单位)，则 C12017xC22017x2C32017x3C20172017x2017 等于()Ai Bi C1i D1i答案 C答案 解析 x 2i1i2i1i1i1i1i，C12017xC22017x2C32017x3C20172017x2017(1x)20171i20171i1.解析 2已知 n 为满足 SaC127C227C327C2727(a3)能被
17、9 整除的正数 a 的最小值，则x1xn 的展开式中，二项式系数最大的项为()A第 6 项B第 7 项C第 11 项D第 6 项和第 7 项答案 B答案 解析 由于 SaC127C227C327C2727a227189a1(91)9a1C0999C1998C899C99a19(C0998C1997C89)a2，a3，所以 n11，从而x1x11 的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第 6 项和第 7 项，且第 6 项系数为负，所以第 7 项系数最大解析 3计算 1.056.(精确到 0.01)解 1.056(10.05)6160.05150.0521
18、0.30.03751.34.答案 二项式定理应用的常见题型及求解策略1整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注展开式的最后几项，而求近似值则关注展开式的前几项见举例说明2.2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.若精确度要求较高，则可使用更精确的公式(1x)n1nxnn12x2.见举例说明 3.1(2018银川模拟)C1n2C2n4C3n2n1Cnn等于()A3nB23nC.3n2 1D.3n12答案 D答案 解析 C1n2C2n4C3n2n1Cnn12(C0n
19、2C1n22C2n2nCnn)1212(12)n123n12.解析 28836 被 49 除所得的余数是()A14 B0 C14 D35答案 B答案 解析 由二项式定理展开得8836(71)836783C183782C818372C828371672M8377(M 是正整数)49M491249N(N 是正整数)8836 被 49 除所得的余数是 0.解析 3求 0.9986 的近似值(精确到 0.001)解 0.9986(10.002)6160.002150.002210.0120.000060.988.答案 易错防范 二项展开式中项的系数与二项式系数典例(2018四川仁寿一中模拟)在x 3xn 的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为 64，则 x3 的系数为()A15 B45 C135 D405答案 C答案 解析 由题意4n2n64，n6，Tr1Cr6x6r3xr3rCr6x63r2 ，令 63r2 3，r2,32C26135.故选 C.解析