1、河婆中学2020-2021学年第二学期高一期中考试数学科试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 集合A=x|2x2，B=x|1x3，那么AB=( )A. x|2x3B. x|1x2C. x|2x1D. x|2x32. 复数3ii(i为虚数单位)等于( )A. 13iB. 1+3iC. 1+3iD. 13i3. 已知是第二象限角，cos(2+)=513，则tan=()A. 512B. 513C. 512D. 1254. 已知a,bR，则“ab=0”是“a2+b2=0”的( )条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要5. 定义在R上的偶函数f(x)
2、在(,0上单调递减，若a=f(log216)，b=f(log24.9)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是()A. cbaB. abcC. bacD. cab6. 已知向量a=(1,2)，b=(k,1)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A. (2,+) B. (,2) C. (2,12)(12,+) D. (2,2)7. 鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下、左右、前后完全对称，十分巧妙鲁班锁的种类各
3、式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上、下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为()A. 24B. 25C. 26D. 278. 对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=f(x0)，则称点(x0,f(x0)与点(x0,f(x0)是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=x2+2x,x0时，f(x)=x
4、(x1)，则下列说法正确的是()A. 函数y=f(x)有2个零点 B. 当x0时，f(x)=x(x+1)C. 不等式f(x)0，则ff(1)= _ 15. 已知一个高为h的圆柱形水杯装满水，如图，现将水杯向右倾斜，如图，此时水杯中剩余的水占水杯容积的比值为_，将水杯中剩余的水倒满与圆柱形水杯同底等高的圆锥形杯子，如图，则此时圆柱形杯子中的水占水杯容积的比值为_。(不计水杯玻璃厚度)16. 易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图是易经中记载的几何图形八卦图图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田已知正八边形的边长为8m，代表阴阳太极图的圆的半径为2m
5、，则每块八卦田的面积约为_m2(结果保留整数)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，以x轴非负半轴为始边，角的终边与单位圆相交于点P(45,35)，将角的终边绕着原点O顺时针旋转4得到角(1)求3sin()+5cos()2sin(2)+sin(+)的值；(2)求sin2+2cos的值18. 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行()求A；()若a=7，ABC的面积为332，求ABC的周长19. 已知函数f(x)=122x+a(a0)，且f(0)=0(1)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)若f(x)m2
6、x恒成立，求m的最大值20. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是1603dm3(1)求正方体石块的棱长；(2)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积21. 已知函数f(x)=(cosx+3sinx)sin(2x)+12(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间712,56上的最小值以及取得该最小值时x的值22. 我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=
7、f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)b为奇函数()若f(x)=x33x2，求此函数图象的对称中心；求f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)的值()类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论河婆中学2020-2021学年第二学期高一期中考试答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. B5. A6. C7. D8. B9. AD10. BD11. BD12. BCD13. 2 14. 1 15. 56；12; 16. 3717. 解：(1)由题意可得cos=45
8、，sin=35，tan=34，可得3sin()+5cos()2sin(2)+sin(+)=3sin+5cos2cossin=3tan+52tan=1(2)由题意可得=4，可得=4，所以sin2+2cos=sin2(4)+2cos(4)=sin(22)+2cos(4)=cos2+2cos(4)=12cos2+2(cos+sin) =121625+2(45+35)=7+522518. 解：()m/n，由正弦定理得，又sinB0,从而，由于，所以()由题意得：，又，bc=6，又a=7，由余弦定理得，整理得b2+c2=13，b+c2=25，b+c=5，故ABC的周长为5+719. 解：由f(0)=12
9、1+a=0，解得a=1，故f(x)=122x+1，(1)证明：f(x)为定义域在R上的奇函数，证明如下：f(x)+f(x)=122x+1+122x+1=2(22x+1+22x2x+1)=22(1+2x2x+1)=0，即f(x)=f(x)，所以f(x)为奇函数；(2)由条件得m2x(122x+1)，即m(2x+1)+22x+13恒成立，设t=2x+1，则t(1,+)，g(t)=t+2t3223(当且仅当t=2时，等号成立)所以g(t)的最小值是223，所以m(,223,即m的最大值是22320. 解：(1)设正方体石块的棱长为a(dm)，则每个截去的四面体的体积为1312(a2)3=a348由题
10、意可得8a348+1603=a3，解得a=4dm故正方体石块的棱长为4dm；(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的最大体积V=43(42)3=323dm321. 解：(1)因为函数f(x)=(cosx+3sinx)sin(2x)+12=(cosx+3sinx)cosx+12=cos2x+3sinxcosx+12=1+cos2x2+32sin2x+12=sin(2x+6)+1；函数f(x)最小正周期是T=；当2k22x+62k+2，kZ，即k3xk+6，kZ，函数f(x)单调递增区间为k3,k+6，kZ；(2)x712,56432
11、x+6116；所以当2x+6=32时，即x=23时，f(x)取得最小值022. 解：()函数f(x)=x33x2图象的对称中心为P(a,b)，因为g(x)=f(x+a)b奇函数，故g(x)=g(x)，故f(x+a)b=f(x+a)+b，则f(x+a)+f(x+a)=2b，即(x+a)33(x+a)2+(x+a)33(x+a)2=2b，整理得(3a3)x2+a33a2b=0，故3a3=0a33a2b=0，解得a=1，b=2，所以函数f(x)=x33x2图象的对称中心为(1,2)因为函数f(x)=x33x2图象的对称中心为(1,2)，所以f(x+1)+f(x+1)=4，故f(2018)+f(201
12、9)+f(2020)+f(2021)=f(2018)+f(2020)+f(2019)+f(2021)=f(2019+1)+f(2019+1)+f(2020+1)+f(2020+1)=4+(4)=8()推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数【解析】1. 【分析】本题考查集合的并集运算，属于基础题直接求并集即可【解答】解：集合A=x|2x2，B=x|1x3，所以AB=x|2xlog24.9220.81，则abc故选：A根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键6.
13、【分析】本题主要考平面向量的夹角问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题设a与b的夹角为，利用cos0且a与b不同向即可解答【解答】解：设a与b的夹角为，则由题意可得cos=ab|a|b|=2+k51+k20，且a与b不同向，k2，且12k1，解得k2，且k12，故k的取值范围是(2,12)(12,+)，故选C7. 解：由题意，设该几何体的外接球的半径为R，正四棱柱体的高为=5，用平行圆柱的底面的平面截圆柱和中间横向最长木条的截面图如图：则4R2=52+12+12=27，可得R=332，加好友的外接球的表面积为：S=4R2=27故选：D由题意，求出球形容器的半径的最小值，即可求出正四棱柱体的体
14、对角线的长度，得到外接球的半径再求外接球的表面积本题考查几何体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，属于中档题8. 解：由隐对称点的定义可知函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数y=x2+2x，x0，则x0)有零点，解得m=x2x+2，又因x2x+22x2x+2=222，当且仅当x=2时取等号，m(,222故选：B由隐对称点的定义可知函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，进而可解出本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题9. 【分析】本题考查平面的基本性质，属于基础题根据平面的基本性质，对各选项逐一分析，即可得到答案【解答】解：A.若Al，A，Bl，
15、B，根据平面性质的公理，可知正确，故A正确；B.A，B，A，B两点不一定是两个平面的公共点，故B错误；C.若A，B，C，A，B，C，当A，B，C在一条直线上时，则，不重合，故C错误；D.若A，A，B，B，则A，B两点是两个平面的公共点，根据平面性质的公理，得到=AB，故D正确故选AD10. 【分析】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，
16、以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B正确；对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误；对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确故选BD11. 【分析】本题考查向量的投影，平行向量，向量运算律，属于中档题首先根据投影的定义判断出A是否正确，然后通过sin2a,b+cos2a,b=1即可判断出B是否正确，通过取0即可判断出C是否正确，通过计算得出sina,b=0即可判断出D是否正确并得出答案【解答】解：由向量投影的定义可知，A显然不成立；(ab)2+(ab)2=|a|2|b|
17、2sin2a,b+|a|2|b|2cos2a,b=|a|2|b|2，故B成立；(ab)=|a|b|sina,b,(a)b=|a|b|sina,b，当0时，f(x)=x(x1)，可得f(0)=0，f(1)=0，f(1)=0，所以函数y=f(x)有3个零点，故A错误；当x0，f(x)=x(x1)=f(x)，则x0时，f(x)=x(x+1)，故B正确；当0x1时，由f(x)0，解得0x1，当1x0时，由f(x)0或x1，此时无解，当x=0时，f(x)=0，不满足不等式，所以f(x)0的解集为(0,1)，故C正确；当0x1时，f(x)=x(x1)的最小值为f(12)=14，所以当1x0时，f(x)的最
18、大值为14，即有f(x)在1,1的值域为14,14，则|f(x1)f(x2)|14(14)=12，故D正确故选：BCD由奇函数的定义可得f(x)的零点为0，1，1，可判断A；由奇函数的定义可得x0，代入已知解析式可得f(x)的解析式，可判断B；讨论0x1，1x0，x=0时，f(x)0的解集，可判断C；分别求得f(x)在0x1，1x0，f(1)=ln1=0，则ff(1)=f(0)=e0=1，故答案为：1根据题意，由函数的解析式可得f(1)的值，进而计算可得答案本题考查分段函数函数值的计算，涉及指数、对数的计算，属于基础题15. 15【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积，属基础题，根据倾斜后的上部无水
19、部分的体积为相应圆柱的体积的一半，可得答案；根据圆锥的体积与圆柱的体积的关系可得第二个空的答案【解答】解：剩余水的体积占水杯容积的比值为11213=56，再倒满等底同高的圆锥中，倒出了圆柱的容积的三分之一，剩余为5613=12，故答案为56；1216. 【分析】本题考查正弦定理与三角形面积公式，涉及二倍角公式，属中档题计算每个三角形顶角度数，利用正弦定理结合正八边形的边长求出腰长，进而利用三角形面积公式求面积即可【解析】解：如图，易知每个三角形的顶角为3608=45，设三角形的腰长为a，由正弦定理可得asin1352=8sin45，解得a=82sin1352，所以每个三角形的面积为S=12(8
20、2sin1352)2sin45=3221cos1352=16(2+1)，所以每块八卦田的面积为16(2+1)182237(m2)故答案为3717. (1)由题意利用任意角的三角函数的定义可求得cos，sin，tan的值，利用诱导公式化简所求即可得解(2)由题意可得=4，利用二倍角公式，两角差的余弦公式即可求解本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18. 本题主要考查了向量的平行关系与解三角形，通过余弦定理和正弦定理解答，属于中档题()利用向量平行得到坐标的等式，根据正弦定理转化，即可求出A；(
21、)利用三角形面积公式求得bc=6，利用余弦定理得到关于b，c的等式，求出b+c=5，即可求周长19. (1)求出a的值，根据函数的奇偶性的定义证明即可；(2)问题转化为m(2x+1)+22x+13恒成立，设t=2x+1，则t(1,+)，得到g(t)=t+2t3223(当且仅当t=2时，等号成立)，从而求出m的最大值即可本题考查了函数的奇偶性，考查函数恒成立问题，考查转化思想以及换元思想，是中档题20. (1)设正方体石块的棱长为a，求出每个截去的四面体的体积，再由等体积法列式求解a值；(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，可得正方体的棱长正好是球的直径，再由球的体积公
22、式求解本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题21. (1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x712,56可得：432x+6116，所以当2x+6=32时，即x=23时，f(x)取得最小值0本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题22. ()设f(x)的对称中心为P(a,b)，利用题中给出的信息可得g(x)=f(x+a)b奇函数，从而得到f(x+a)+f(x+a)=2b，展开整理得到关于a和b方程，求解即可；利用中的结论，可得f(x+1)+f(x+1)=4，然后将f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)根据f(x+1)+f(x+1)=4进行变形，即可得到答案()直接类比写出一个推论即可本题考查了函数奇偶性的应用、对称性的应用，解题的关键是正确理解题意，属于中档题
