1、2012-2013学年度下学期期中考试高二数学（理）试题【新课标】第卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则是（ ） A.B.C.D.2.用数学归纳法证明等式，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（ ） A.B.C.D.3.若函数在处有定义，则“在处取得极值”是“”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15855.实验测得四组的值分别为，则y关于x的线性回
2、归方程必过点（ ） A.（2，8）B.（2.5，8）C.（10，31）D.（2.5，7.75）6.若，则（ ） A.2009B.2010C.2011D.20127.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有（ ）种. A.96B.48C.36D.248.函数在处有极值10，则m，n的值是（ ） A.B.C.D.9.已知函数的图象如图所示，则的大致图象可以是图中的（ ）10.设，则函数在区间上有零点的概率是（ ） A.B.C.D.第卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共2
3、5分，请把答案填在答题卷上）11.某地为了了解该地区1000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭月平均用电量画出频率分布直方图（如图所示），则该地区1000户家庭中月平均用电度数在的家庭有_户.12.展开式中的系数为_.13.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_.14.观察下列等式：由以上等式猜想到一个一般的结论：对于，_.15.设集合，的子集，其中，当满足时，我们称子集A为P的“好子集”，则这种“好子集”的个数为_.（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小
4、题满分12分）已知两正数a，b满足，求证：17. （本小题满分12分）在数列中，且成等差数列，成等比数列（1）求及；（2）猜想的通项公式，并证明你的结论.18. （本小题满分12分）如图，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角取什么值时，漏斗容积最大.（圆锥体积公式：，其中圆锥的底面半径为r，高为h）19. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）过点能作几条直线与曲线相切？说明理由.20. （本小题满分13分）设a、b、c分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数.（1）求使函数在R上不存在极值点的概率；（2
5、）设随机变量，求的分布列和数学期望.21. （本小题满分14分）设函数.（1）求函数的单调增区间；（2）若不等式在恒成立，求实数m的取值范围.（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.参考答案CADBD ABBAC11.12012.13513.14.15.1016.证明：由知 （10分）当且仅当时取等号，此时（12分）17.解：（1）由条件得由此可得（6分）（2）猜测用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立假设当时，结论成立，即那么当时，所以当时，结论也成立（11分）由可知，（12分）对一切正整数都成立.18.解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么，因此， = .（
6、3分）.令，即，得.（5分）当时，.当时，.所以，时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值.（8分）把代入，得.由，得答：圆心角为弧度时，漏斗容积最大.（12分）19.解（1），由题知（1分）（5分）（2）设过点（2,2）的直线与曲线相切于点，则切线方程为：即（7分）由切线过点（2,2）得：过点（2,2）可作曲线的切线条数就是方程的实根个数（9分）令，则由得当t变化时，、的变化如下表t0(0,2)2+0-0+极大值2极小值-2由知，故有三个不同实根可作三条切线（12分）20.解：（1）（1分） 若在R上不存在极值点，则恒成立（2分）又a，b，ca、b、c成等差数列（4分）按公差分类，a、b、c成等差数列共有种情况故函数在R上不存在极值点的概率（6分）（2）若，则若，则或，同理： （10分）的分布列为012345P（13分）21.解：（1）函数的定义域为（1分）（2分）由得或故函数的单调增区间为和（2）当时（4分）当时在上单调递减，在上单调递减.（6分）（8分）（3）设在上单减，在上单增（10分）由（1）知在上单增，（12分）又 （14分）