1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A2BCD22下列函数中，是偶函数且在区间（0，+）上是减函数的为（）ABy=x2CD3设函数f（x）=，则f（1+log23）的值为（）ABCD124如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3
2、456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关Bt的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4，5，3，5）DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y21，x0，y0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）ABCD6有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误7设a，b（0，+），则a+（）A都不大于2
3、B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于28已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（）Acos+sin=2Bcossin=2Ccos+sin=Dcossin=9表示不超过的最大整数若S1=+=3，S2=+=10，S3=+=21，则Sn=（）An（n+2）Bn（n+3）C（n+1）21Dn（2n+1）10已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）ABCD11定义在R上的偶函数y=f（x）在0，+）上递减，且=0，则满足的x的集合为（）A
4、BCD12偶函数f（x）满足f（x）=f（2x），且当x1，0时，f（x）=cos1，若函数g（x）=f（x）logax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（2，4）D（3，5）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知集合M=0，1，3，N=x|x=3a，aM，则MN=14函数f（x）=的定义域为15在极坐标系中，点P的距离等于16已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=x21，若f（a）=2，则a=三、解答题：本大题共5小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API0，
5、50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.32
6、32.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10018已知函数f（x）=a是定义在（1，1）上的奇函数（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（1，1）上的单调性并证明；（3）若f（x1）+f（x）0，求x的取值集合19已知：sin230+sin290+sin2150=；sin25+sin265+sin2125=；sin212+sin272+sin2132=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明20在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A
7、（3，），B（3，），圆C的方程为=2cos（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求ABP面积的最大值21已知函数f（x）=x|2ax|+2x，aR（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a2，2，使得关于x的方程f（x）tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围2015-2016学年安徽省芜湖一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1
8、若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a=（）A2BCD2【考点】复数的基本概念【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，bR）的形式，令实部为0，虚部不为0，求出a即可【解答】解：复数=是纯虚数，所以2a=0，即a=2故选D2下列函数中，是偶函数且在区间（0，+）上是减函数的为（）ABy=x2CD【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】本题利用函数的单调性和奇偶性定义判断选项中的函数是否符合条件，得到本题结论【解答】解：选项A，f（x）=，f（x）=f（x），y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+）单调递增，不合条件；选项C，f（x）=，f（
9、x）是偶函数，在区间（0，+）上是减函数，符合条件；选项D，f（x）=（）x=2x，不是偶函数，不符合条件故答案为：C3设函数f（x）=，则f（1+log23）的值为（）ABCD12【考点】分段函数的应用【分析】根据分段函数的性质，把x=1+log23分别反复代入f（x1）直到x0，再代入相应的函数解析式，从而求解；【解答】解：21+log233，11+log2330，即f（1+log23）=f（1+log23）1）=f（log23）log230f（log23）=f（log231），log2310f（log231）=f（log232），log232=log20，f（log232）=f（log2
10、）=（）=2=，故选：C4如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关Bt的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4，5，3，5）DA产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程【分析】先求出这组数据的，把代入线性回归方程，求出，即可得到结果【解答】解：由题意， =4.5，=0.7x+0.35，=0.74.5+0.35=3.5，t=43.52.544.5=3，故
11、选：B5在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y21，x0，y0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）ABCD【考点】类比推理【分析】类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论【解答】解：类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B6有这样一段演绎推理“有
12、些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误【考点】进行简单的演绎推理【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些”，不难得到结论【解答】解：大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，不符合三段论推理形式，推理形式错误，故选C7设a，b（0，+），则a+（）A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2【考点】不等式比较大小【分析】利
13、用反证法证明，假设a+，b+都小于或等于2，然后找出矛盾，从而得到结论【解答】解：假设a+，b+都小于或等于2，即a+2，b+2，将两式相加，得a+b+4，又因为a+2，b+2，两式相加，得a+b+4，与a+b+4，矛盾所以a+，b+至少有一个不小于2故选D8已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为（）Acos+sin=2Bcossin=2Ccos+sin=Dcossin=【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方
14、程，转化为极坐标方程【解答】解：因为曲线C的参数方程为（t为参数），所以其普通方程为x2+y2=2，即曲线C为以原点为圆心，为半径的圆由于点（1，1）在圆上，且该圆过（1，1）点的半径的斜率为1，所以切线l的斜率为1，其普通方程为x+y2=0，化为极坐标方程为cos+sin=2故选：A9表示不超过的最大整数若S1=+=3，S2=+=10，S3=+=21，则Sn=（）An（n+2）Bn（n+3）C（n+1）21Dn（2n+1）【考点】归纳推理【分析】先根据条件，观察S1，S2，S3的起始数、项数的规律，再根据规律归纳推理，得到Sn的起始数、项数，从而求出Sn【解答】解：第一个等式，起始数为：1，
15、项数为：3=41=2212，S1=13；第二个等式，起始数为：2，项数为：5=94=3222，S2=25；第三个等式，起始数为：3，项数为：7=1694232，S3=37；第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2n2=2n+1，Sn=n（2n+1），（nN*）故选：D10已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案【解答】解：由函数的图象可知，1b0，a1，则g（x）=ax+b为增函数，当x=0时，y=1+b0，且过定点（0
16、，1+b），故选：C11定义在R上的偶函数y=f（x）在0，+）上递减，且=0，则满足的x的集合为（）ABCD【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由于函数y=f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（|x|），又由于y=f（x）在0，+）上单调递减，所以要求的，然后解出含绝对值的对数不等式即可【解答】解：因为定义在R上的偶函数y=f（x）在0，+）上递减，且=0，则满足或0x或x2故选D12偶函数f（x）满足f（x）=f（2x），且当x1，0时，f（x）=cos1，若函数g（x）=f（x）logax有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（2，4）D（3，5）【考点】根的存在性及根的个
17、数判断【分析】由题意可得，函数f（x）的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，函数f（x）是周期为2，函数y=f（x）的图象和函数y=logax有的图象有且仅有3个交点，数形结合可得，由此求得a的范围【解答】解：偶函数f（x）满足f（x）=f（2x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2由当x1，0时，f（x）=cos1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=logax有的图象有且仅有3个交点，故有，求得a，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13已知集合M=0，1，3，N=x|x=3a，aM，则MN=0
18、，1，3，9【考点】并集及其运算【分析】由题意求出集合N，然后直接利用并集运算得答案【解答】解：M=0，1，3，N=x|x=3a，aM=0，3，9，则MN=0，1，3，9，故答案为：0，1，3，914函数f（x）=的定义域为（2，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据二次根式的定义可知1x0且根据对数函数定义得x+20，联立求出解集即可【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1x0，根据对数函数定义得x+20联立解得：2x1故答案为（2，115在极坐标系中，点P的距离等于【考点】点到直线的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程化为直角坐标方
19、程，然后用点到直线的距离来解【解答】解：在极坐标系中，点P化为直角坐标为，化为，到的距离，即为P的距离，所以距离为故答案为：16已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=x21，若f（a）=2，则a=【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用f（a）=2，分类讨论，即可求出a的值【解答】解：f（a）=2，若a0，则a21=2，方程无解；若a0，则a0，依题意，f（a）=（a）21=2，a=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API0，50（50，100（100，150（1
20、50，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0
21、246.6357.87910.828k2=非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由200S600，得150250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A由200S600，得150250，频数为39，P（A）=（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值K2=4.5
22、753.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关18已知函数f（x）=a是定义在（1，1）上的奇函数（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（1，1）上的单调性并证明；（3）若f（x1）+f（x）0，求x的取值集合【考点】函数单调性的性质【分析】（1）根据题意，f（x）为奇函数且在原点有定义，从而有f（0）=0，这样便可解出a的值；（2）根据反比例函数、指数函数及复合函数的单调性便可判断f（x）在（1，1）上为增函数，根据增函数的定义：设任意的x1，x2（1，1），且x1x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性及值域便可得出f（x1）f（x2），这样便得出f（x）在（1，1）上为
23、增函数；（3）根f（x）为奇函数便可由f（x1）+f（x）0得到f（x1）f（x），再由f（x）在定义域（1，1）上为增函数便可得到，从而解该不等式组即可得出x的取值范围【解答】解：（1）由题意得；（2）由（1）可知，函数f （x）在区间（1，1）上为增函数；证明如下：设1x1x21，则：f （x1）f （x2）=；1x1x21；f（x1）f（x2）；f（x）在（1，1）上为增函数；（3）f（x1）+f（x）0f（x1）f（x）因为f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x）；则不等式可变形为f（x1）f（x），因为f（x）在（1，1）上为增函数；所以；解得；x的取值集合为19已知：sin230+
24、sin290+sin2150=；sin25+sin265+sin2125=；sin212+sin272+sin2132=；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明【考点】归纳推理【分析】通过所给的等式归纳出一般形式，利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左边的值，即得到证明【解答】解：一般形式：sin2+sin2（+60）+sin2（+120）=证明 左边=sin2sin240=右边原式得证（将一般形式写成 sin2（60）+sin2+sin2（+60）=，sin2（240）+sin2（120）+sin2=等均正确，其证明过程可参照给分）20在平面直角坐标系xOy中，以坐
25、标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为=2cos（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求ABP面积的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值【解答】解：（1）由=2cos，可得：2=2cos，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的
26、标准方程为：（x1）2+y2=1 （2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|=3，直线AB的方程为： x+y=3所以圆心到直线AB的距离d=，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故ABP面积的最大值为S= 21已知函数f（x）=x|2ax|+2x，aR（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a2，2，使得关于x的方程f（x）tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断
27、函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数当a=0时，f（x）=x|x|+2x，f（x）=x|x|2x=f（x），函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x2a时，f（x）的对称轴为：x=a1；当x2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；当a12aa+1时，f（x）在R上是增函数，即1a1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解当1a1时，函数f（x）在R上是增函
28、数，关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根； 当a1时，即2aa+1a1，f（x）在（，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+）上单调增，当f（2a）tf（2a）f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4at4a（a+1）2，a1，设，存在a2，2，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，1th（a）max，又可证在（1，2上单调增h（a）max=，1t当a1时，即2aa1a+1，f（x）在（，2a）上单调增，在（2a，a1）上单调减，在（a1，+）上单调增，当f（a1）tf（2a）f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即（a1）2t4a4a，a1，设，存在a2，2，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，1tg（a）max，又可证在2，1）上单调减，g（a）max=，1t；综上：1t2016年8月30日高考资源网版权所有，侵权必究！