1、函数模型的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:x123y125下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()A.y=log2(x+1)B.y=2x-1C.y=2x-1D.y=(x-1)2+1【解析】选D.代入数值检验,把x=2代入可排除A,B,C,把x=1,2,3 代入D选项,符合题意.2.(2021肇庆高一检测)sigmoid函数f(t)=是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型.某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)=,当f(t*)=0.9K时,病毒增长达到最大,则t*约为(ln 9
2、2.2)()A.90B.83C.74D.63【解析】选C.由题意得f(t*)=0.9K,整理得=0.9,即=,可得-0.2(t*-63)=-ln 9-2.2,所以t*=74.3.“红豆生南国,春来发几枝?”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图.那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数:y=2tB.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3D.二次函数:y=2t2【解析】选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数,并且增长速度很快,符合指数型函数模型,且图象过点(1,2),所以图象由指数函数来模拟比较好.4.素数也叫质数,法国数学家马林
3、梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1,第19个梅森素数为Q=24 253-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 20.3)()A.1045B.1051C.1056D.1059【解析】选B.由题知=2170.令2170=k,则lg 2170=lg k,所以170lg 2=lg k.又lg 20.3,所以51=lg k,即k=1051,所以与最接近的数为1051.5.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的
4、科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年【解析】选B.若2018年是第一年,则第n年科研经费为1 3001.12n,由1 3001.12n2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12lg 2,得n0.050.19,n3.8,n4,即到2021年科研经费超过2 000万元.6.(多选题)已知光线每通过一块玻璃板,光线的强度就减弱10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下,则需要重叠玻璃板数可能为()A.9
5、块B.10块C.11块D.12块【解析】选C、D.设至少需要重叠玻璃板数为n,由题意得(1-10%)n,解得n11,则至少需要重叠玻璃板数为11块.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.【解析】依题意得即解得a=2,b=-2.所以y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8.解得x=1 024(万元).答案:1 0248.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规
6、律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5 h,1个病毒能繁殖为个.【解析】因为当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2.当t=5时,y=e10ln2=210=1 024.答案:2ln21 024【补偿训练】某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=kax(a0且a1),xN*.当商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.【解析】由题意可得方程组:结合a0且a1可得 即 y=128,则该商品上架第4
7、天的价格为128=40.5,即该商品上架第4天的价格为40.5元.答案:40.5三、解答题(每小题10分,共20分)9.某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后人均一年占有y kg粮食,求函数y关于x的解析式.【解析】设该乡镇目前人口量为m,则该乡镇目前一年的粮食总产量为360m.经过1年后,该乡镇粮食总产量为360m(1+4%),人口总量为m(1+1.2%),则人均占有粮食为;经过2年后,人均占有粮食为;经过x年后,人均占有粮食为y=360()x=360()x.即所求函数解析式为y=360()x.10.某化工厂生产一种
8、溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】解法1:因为每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为.依题意,得,即,因为=,=0,a0且a1)B.y=klogxx+b(k0,a0,且a1)C.y=+b(k0)D.y=ax2+bx+c(a0)【解析】选B.由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.2.某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场销售发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出
9、售,此时厂家同时出售A,B产品各1件,盈亏情况是()A.不亏不赚B.亏5.92元C.赚5.92元D.赚28.96元【解析】选B.设A产品的原价为a元,B产品的原价为b元,则a(1+20%)2=23.04,求得a=16;b(1-20%)2=23.04,求得b=36.则a+b=52元,而23.042=46.08元.故亏52-46.08=5.92(元).【补偿训练】某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏
10、情况【解析】选A.由题意可得:(1+10%)3(1-10%)30.97200,所以1.12n=,两边取对数,得nlog1.12=3.8,因为nN+,所以n的最小值为4.故2020年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.4.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作)的乘积等于常数10-14.已知pH的定义为pH=-lg,健康人体血液的pH保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 20.30,lg 30.48)()A.B.C.D.【解析】选C.因为=10-14,所以=10
11、14,因为7.35-lg7.45,所以10-7.4510-7.35,所以10-0.9=1014, lg=0.7lg 3lg 2,所以100.732,10-0.7,所以.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系式为:P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).若在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么,至少还需要过滤小时才可以排放.【解析】t=0时,P=P0,由题意,知前5小时消除了90%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P
12、0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,所以k=-ln 0.1.由1%P0=P0e-kt,即0.01=e-kt,所以-kt=ln 0.01,t=ln 0.01,所以t=10,所以至少还需要过滤5小时才可以排放.答案:56.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+(x0).已知生产此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企
13、业甲产品的年利润为万元.【解析】由题意,产品的生产成本为(30y+4)万元,销售单价为150%+50%,故年销售收入为z=y=45y+6+x.所以年利润W=z-(30y+4)-x=15y+2-=17+-(万元).所以当广告费为1万元时,即x=1,该企业甲产品的年利润为17+-=31.5(万元).答案:31.5三、解答题7.(10分)医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检测,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候,小白鼠将会死亡.如注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.天数t病毒细
14、胞总数N11223448516632(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天,已知:lg2=0.301 0)【解析】(1)由题意知,病毒细胞的个数关于时间t的函数为y=2t-1.则由2t-1108两边取对数得(t-1)lg28,得t27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物.(2)由题意知,注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为2262%,再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为2262%2x.由题意2262%2x108,两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg28,得x6.2,即再经过6天必须注射药物,即第二次应在第33天注射药物.