1、2016年安徽省池州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=0，1，2，B=x|x2x20，则AB=（）A0，1，2B1，2C0，1D02设i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则复数z的虚部为（）AiBiC1D13双曲线y2=1的焦点F到其渐近线的距离为（）AB1CD24元宵节晚上有三支龙灯表演队，甲、乙两位志愿者各自参加其中一支表演队，每一位志愿者参加各支表演队的可能性相同，则这两位志愿者参加同一支表演队的概率为（）ABCD5已知sin（+）=，则sin（+2）=（）ABCD6已知
2、A，B，C，D是函数f（x）=sin（x+）（0，0）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为y轴上的点，D为图象上的最低点，C为该函数图象的一个对称中心，B与E关于点C对称，在x轴上的投影为，则的值为（）ABCD7执行如图所示的程序框图，输出的S值为4时，则输入的S0的值为（）A7B8C9D108某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）AB24CD9已知抛物线C的顶点是椭圆+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|=（）ABCD210若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2
3、）D（1，2）11若变量x，y满足z=+（ab0）的最大值2，则有（）Aab3ab=0Baba3b=0Cabab=0Dab+ab=012设函数f（x）是偶函数f（x）（xR）的导函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（1，1）D（2，2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13如图，为互相垂直的两个单位向量，则向量+可用，表示为14如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，若h（x）=xf（x），
4、则h（1）=15ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，b+c=，且cosA=，则ABC的面积为16表面积为60的球面上有四点S、A、B、C，且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，满足a1=1，且a2，a3，a6成等比数列（）求an及Sn；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD=90，PA=AB=AC=2（I）
5、求证：ACCD；（）点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离19近年来空气污染是生活中一个重要的话题，PM2.5就是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测空气质量指数要求PM2.5 24小时浓度均值分：估0，35、良（35，75，轻度污染（75，115，中度污染根据数据绘制频率分布表，并求PM2.5 24小时浓度均值的中位数；空气质量指数类别频数频率优0，35良（35，75轻度污染（75，115中度污染（115，150重度污染（150，250严重污染（250，500合计301（）专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可以正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动
6、池州市某家庭准备在2016年2月1日至3月1日间连续两天在外郊游（假设数据为出游前的预报数据），家庭考虑小孩的因素，选择空气质指数为优时出游，求该家庭外出郊游的概率20已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A、B、两点（）求椭圆C的离心率；（）求证：OAOB21已知函数f（x）=x2（1）n2alnx（nZ，a0）（）求函数f（x）的极值；（）若n=2016，且函数y=2axf（x）有唯一零点x0，求x0与a请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，CB与O相切于B，E为线段CB上一点，连接A
7、C、AE，分别交O于D、G两点，连接DG交CB于点F（）求证：CDFGEF；（）若E为CB的中点，EG=1，GA=3，求线段CD的长选修4-4：坐标系与参数方程23以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值选修4-1：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|+|x3|（）求函数f（x）的最小值；（）若任意x，yR，不等式f（x）m（|y+1|y1|）恒成立，求m的取值范围20
8、16年安徽省池州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=0，1，2，B=x|x2x20，则AB=（）A0，1，2B1，2C0，1D0【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x2）（x+1）0，解得：1x2，即B=（1，2），A=0，1，2，AB=0，1，故选：C2设i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则复数z的虚部为（）AiBiC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，然后利
9、用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z（1+i）=2i，复数z的虚部为1故选：C3双曲线y2=1的焦点F到其渐近线的距离为（）AB1CD2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：双曲线y2=1的渐近线为y=x，a2=3，b2=1，c2=a2+b2=3+1=4，即C=2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y=0，则焦点F到其渐近线的距离d=，故选：B4元宵节晚上有三支龙灯表演队，甲、乙两位志愿者各自参加其中一支表演队，每一位志愿者参加各支表演队的可能性相同，则这两位志愿者参加同一支表演队的概率为（）A
10、BCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出这两位志愿者参加同一支表演队包含的基本事件个数，由此能求出这两位志愿者参加同一支表演队的概率【解答】解：元宵节晚上有三支龙灯表演队，甲、乙两位志愿者各自参加其中一支表演队，每一位志愿者参加各支表演队的可能性相同，基本事件总数33=9，这两位志愿者参加同一支表演队包含的基本事件个数为3，这两位志愿者参加同一支表演队的概率为p=故选：A5已知sin（+）=，则sin（+2）=（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】已知等式利用诱导公式求出sin的值，利用二倍角的三角函数公式求出cos2的值，原式变形后代入计
11、算即可求出值【解答】解：sin（+）=sin=，sin=，则原式=cos2=12sin2=，故选：B6已知A，B，C，D是函数f（x）=sin（x+）（0，0）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为y轴上的点，D为图象上的最低点，C为该函数图象的一个对称中心，B与E关于点C对称，在x轴上的投影为，则的值为（）ABCD【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】根据在x轴上的投影为，得到，根据三角函数的图象和性质分别求出 和的值即可得到结论【解答】解：如图，设在点B左侧图象上的与之相邻的最高点为G，则由在x轴上的投影为，知在x轴上的投影为，即|OF|=，又，|AF|=+=，即函数的周
12、期T=，T=，=2，即f（x）=sin（2x+），所以，sin（2+）=0即+=k，即=k，0，当k=1时，=，故选：B7执行如图所示的程序框图，输出的S值为4时，则输入的S0的值为（）A7B8C9D10【考点】程序框图【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，第一次循环得到：S=S01，i=2；第二次循环得到：S=S014，i=3；第三次循环得到：S=S0149，i=4；S0149=4，解得S0=10故选：D8某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）AB24CD【考点】由三视图求面积、体积【
13、分析】几何体为正方体挖去一个圆锥，根据三视图判断正方体的边长及挖去的圆锥的高和底面直径，求得母线长，根据几何体的表面积为正方体的表面积加圆锥的侧面积，再减去圆锥的底面面积，把数据代入公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为正方体挖去一个圆锥，且正方体的边长为2，挖去的圆锥的高为2，底面直径为2，母线长为，几何体的表面积为正方体的表面积加圆锥的侧面积，再减去圆锥的底面面积，S=622+12=24+（1）故选：C9已知抛物线C的顶点是椭圆+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|=（）ABCD2【考点】抛物线的简单性质；椭圆
14、的简单性质【分析】由椭圆的方程可得a2和b2，进而可得c值，可得抛物线C的焦点，可得p值，进而可得抛物线C的方程，联立椭圆与抛物线的方程可得P的坐标，由抛物线的焦半径公式求得|PF2|，再由椭圆定义求得|PF1|【解答】解：由椭圆的方程可得a2=4，b2=3，c=1，故椭圆的右焦点F2为（1，0），即抛物线C的焦点为（1，0），故可得=1，解得p=2，故2p=4，抛物线C的方程为：y2=4x，联立，解得或，P为第一象限的点，P（），则故选：B10若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2）D（1，2）【考点】函数的图象【分析】根据函数的极值点范围和函数值的
15、符号判断【解答】解：当x0时，f（x）0，2m0，故m2f（x）=f（x）由两个绝对值大于1的极值点，mx2=0由两个绝对值大于1的解，m1故选：D11若变量x，y满足z=+（ab0）的最大值2，则有（）Aab3ab=0Baba3b=0Cabab=0Dab+ab=0【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出目标函数的取得最大值时的最优解，即可得到结论【解答】解：由z=+得y=x+bz，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+bz，ab0，斜率k=1，0），由图象知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，6），此时z+=2
16、，即，即ab3ab=0，故选：A12设函数f（x）是偶函数f（x）（xR）的导函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（1，1）D（2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）0的解集即可【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）=xf（x）+f（x），当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0，g（x）在（1，1）递减，而g（x）=xf（x）=x
17、f（x）=g（x），g（x）在R是奇函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，g（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（2）=0，如图示：，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：0x2，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：2x0，综上：x（2，2），故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13如图，为互相垂直的两个单位向量，则向量+可用，表示为【考点】向量的加法及其几何意义【分析】根据向量加法及数乘的几何意义和图便可得到，这样进行向量的数乘运算即可用表示出【解
18、答】解：由图看出，；故答案为：14如图所示，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，若h（x）=xf（x），则h（1）=1【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性【分析】由切点以及导数的关系可得f（1）=1，f（1）=2，由乘积的导数求导函数，代值计算可得【解答】解：直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处的切线，点（1，2）为切点，故f（1）=k，f（1）=k+3=2，解得k=1，故f（1）=1，f（1）=2，由h（x）=xf（x）可得h（x）=f（x）+xf（x），h（1）=f（1）+f（1）=1，故答案为：115ABC的内角A、B、
19、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，b+c=，且cosA=，则ABC的面积为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用同角三角函数关系式可求sinA，由余弦定理解得bc，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：ABC中，a=1，b+c=，且cosA=，可得：sinA=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：1=b2+c2bc=（b+c）2bc=6bc，解得：bc=2SABC=bcsinA=2=故答案为：16表面积为60的球面上有四点S、A、B、C，且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为27【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析
20、】棱锥SABC的底面积为定值，欲使棱锥SABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥SABC体积的最大值【解答】解：表面积为60的球，球的半径为，设ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥SABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB平面ABC，S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，V=故答案为：27三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，满足a1=1，且a2
21、，a3，a6成等比数列（）求an及Sn；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设等差数列an的公差d0，由a2，a3，a6成等比数列，可得： =a2a6，即（1+2d）2=（1+d）（1+5d），解出利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差d0，a2，a3，a6成等比数列，=a2a6，（1+2d）2=（1+d）（1+5d），化为：d22d=0，d0，d=2an=1+2（n1）=2n3，Sn=n+=n22n（）bn=，数列bn的前n项和Tn=+=18如图，四棱锥PABCD的
22、底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD=90，PA=AB=AC=2（I）求证：ACCD；（）点E在棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）证明CD平面PAC，可得ACCD；（）作CFDE，交DE于点F，则CFAE，则CF平面EAD因为BCAD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离，利用等面积可得结论【解答】（）证明：因为PA底面ABCD，所以PACD，因为PCD=90，所以PCCD，所以CD平面PAC，所以CDAC（）解：因为PA=AB=AC=2，E为PC的中点，所以AEPC，
23、AE=由（）知AECD，所以AE平面PCD作CFDE，交DE于点F，则CFAE，则CF平面EAD因为BCAD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离在RtECD中，CF=所以，点B到平面EAD的距离为19近年来空气污染是生活中一个重要的话题，PM2.5就是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测空气质量指数要求PM2.5 24小时浓度均值分：估0，35、良（35，75，轻度污染（75，115，中度污染根据数据绘制频率分布表，并求PM2.5 24小时浓度均值的中位数；空气质量指数类别频数频率优0，35良（35，75轻度污染（75，115中度污染（11
24、5，150重度污染（150，250严重污染（250，500合计301（）专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可以正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动池州市某家庭准备在2016年2月1日至3月1日间连续两天在外郊游（假设数据为出游前的预报数据），家庭考虑小孩的因素，选择空气质指数为优时出游，求该家庭外出郊游的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表【分析】（）根据数据能绘制频率分布表（）由数据知，每一在都可出行，基本事件为29个等可能基本事件，而质量为优的连续两天共有13个，由古典概型能求出可出行的概率【解答】解：（）根据数据绘制频率分布表如下： 空气质量指
25、数类别 频数 频率 优0，35 18 良（35，75 10 轻度污染（75，115 2 中度污染（115，150 0 0重度污染（150，250 0 0严重污染（250，500 0 0 合计 30 1（）由数据知，每一在都可出行，基本事件为29个等可能基本事件，而质量为优的连续两天共有13个，由古典概型知可出行的概率为p=20已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A、B、两点（）求椭圆C的离心率；（）求证：OAOB【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定
26、理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证【解答】解：（）椭圆C：x2+3y2=4即为+=1，可得a=2，b=，c=，即有e=；（）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=1在x2+3y2=4中，令x=1得y=1不妨设A（1，1），B（1，1），则=11=0可得OAOB；同理，当l：x=1时，也有OAOB若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意=1，即k2+1=m2由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m24=0显然0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2所以=x1x2+y1y2
27、=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）+km（）+m2=0所以OAOB综上所述，总有OAOB成立21已知函数f（x）=x2（1）n2alnx（nZ，a0）（）求函数f（x）的极值；（）若n=2016，且函数y=2axf（x）有唯一零点x0，求x0与a【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；（）若函数y=2axf（x）有唯一零点，即g（x）=x2+2ax+2alnx=0有唯一解，利用g（x0）=0，g（x0）=0，即可求x0与a【解答】解：（）f（x）=x2（1）n2alnx的定义域为（0，
28、+），f（x）=2xn为奇数，f（x）=2x+0，函数在（0，+）上单调递增，无极值；n为偶数，f（x）=2x=0，x（0，），f（x）0，x（，+），f（x）0，函数f（x）无极大值，有极小值f（）=aalna；（）n=2016，若函数y=2axf（x）有唯一零点，即g（x）=x2+2ax+2alnx=0有唯一解令g（x）=0，得x2axa=0，a0，x0，x0=，当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）在（0，x0）上是单调递减函数；当x（x0，+）时，g（x）0，g（x）在（x0，+）上是单调递增函数当x=x0时，g（x0）=0，g（x）min=g（x0），g（x）=0有唯一解，g（x0
29、）=0即x02ax0a=0，x02+2ax0+2alnx0=0两式相加得2alnx0+ax0a=0，a0，2lnx0+x01=0，设函数h（x）=2lnx+x1，在x0时h（x）是增函数，h（x）=0至多有一解h（1）=0，方程的解为x0=1，即=1，解得a=请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，CB与O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE，分别交O于D、G两点，连接DG交CB于点F（）求证：CDFGEF；（）若E为CB的中点，EG=1，GA=3，求线段CD的长【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段【
30、分析】（）连接BD，证明C=EGF，DFC=EFG，即可证明：CDFGEF；（）利用切割线定理，求线段CD的长【解答】（）证明：连接BD，则BDAD，CB与O相切于B，ABCB，C=ABDAGD=ABD=EGF，C=EGF，DFC=EFG，CDFGEF；（）解：EG=1，GA=3，由切割线定理EGEA=EB2，得EB=2AB=2，CB=4，AC=2，CB2=CACA，CD=选修4-4：坐标系与参数方程23以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直
31、角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）对极坐标方程两边同乘，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出【解答】解：（I）sin2=4cos，2sin2=4cos，曲线C的直角坐标方程为y2=4x（II）将代入y2=4x，得sin2t2+（2sin4cos）t7=0，所以，所以，或，即或选修4-1：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|+|x3|（）求函数f（x）的最小值；（）若任意x，yR，不等式f（x）m（|y+1|y1|）恒成立，求m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即可；（）问题转化为m（|y+1|y1|）对任意的yR恒成立，设t=|y+1|y1|，求出t的范围，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：（）f（x）=，f（x）的最小值是；（）若任意x，yR，不等式f（x）m（|y+1|y1|）恒成立，由题意得：m（|y+1|y1|）对任意的yR恒成立，设t=|y+1|y1|，|t|=|y+1|y1|2，2t2，解得m（，）2016年8月22日