1、3.1 不等关系与不等式目标定位重点难点1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系3理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小4掌握不等式的性质及各自成立的条件.重点：比较两个数大小的方法难点：掌握不等式的性质及其应用.1不等式中常用的不等符号有_2(1)ab0_；(2)ab0_；(3)ab0_.，ababab3不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc.推论(同向可加性)：abcd acbd；(4)可乘性：abc0 acbc，abcb0cd0 acbd；(5
2、)正数乘方性：ab0anbn(nN*，n1)；(6)正数开方性：ab0n an b(nN*，n2)【答案】A1设 a3525，b2535，c2525，则 a，b，c 的大小关系是()AacbBabcCcabDbca2高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不等式(组)表示为()Av120 km/h 或 d10 mBv120 km/h，d10 mCv120 km/hDd10 m【答案】B3已知 abc0，则 ab，bc，ac，c 从大到小的关系是_【答案】ab ac bcc4若 aln 33，bln 22，则 a 与 b
3、的大小关系为_【答案】ab【例1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍试写出满足上述所有不等关系的不等式【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；两种钢管的数量都不能为负于是可列不等式组表示上述不等关系用不等式表示不等关系【解析】设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管y 根，依 题 意，可 得 不 等 式 组500 x600y4 000，3xy
4、，x，yN，即5x6y40，3xy，x，yN.【方法规律】用不等式表示不等关系的方法：(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系；(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“”“”中的“”能否取到已知某学生有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，试列出满足所有条件的不等式【解析】(2x25x3)(x24x2)x2x1x12234.x1220，x12234340.(2x25x3)(x24x2)0.2x25x3x24x2.【
5、例2】比较2x25x3与x24x2的大小【解题探究】根据“若pq0则pq”的公理，用作差法来解决比较两个数的大小【解析】(1)xy(m4m3n)(n3mn4)(mn)m3n3(mn)(mn)(m3n3)(mn)2(m2mnn2)，mn，(mn)20.又 m2mnn2mn223n24 0，(mn)2(m2mnn2)0.xy0，xy.(2)pqloga(a31)loga(a21)logaa31a21.当 a1 时，a31a21，a31a211，logaa31a210；当 0a1 时，a31a21，a31a211，logaa31a210.综上，pq0，pq.【方法规律】1.作差法比较两个实数(代数式
6、)大小的步骤：第一步，作差并变形，其目标应是容易判断差的符号变形有两种情形：(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断第二步，判断差值与零的大小关系第三步，得出结论2作商法比较大小应注意的问题：作商法即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤已知a0，b0且ab，试比较aabb与abba的大小【解析】aabbabbaaabbbaabab.当 ab0 时，ab1，ab0，abab1；当 0ab 时，0ab1，ab1.综上可得abab1，显然 abba0
7、，aabbabba.不等式性质的应用【例 3】对于实数 a，b，c，有下列结论：若 ab，则 acbc；若 ac2bc2，则 ab；若 ab0，则 a2abb2；若 cab0，则 aca bcb；若 ab，1a1b，则 a0，b0.其中正确结论的个数是()A2B3C4D5【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系【答案】C【解析】c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据，故该结论错误由 ac2bc2 知 c0，则 c20，ab，是正确的ab，aab，ab，bb2，a2ab，abb2a2abb2.故正确ab0abcaa，ca0.0ca 1cb0
8、.又 ab0，aca bcb.故正确由 abab0，1a1b1a1b0baab 0.ab0，ba0.abb，a0，b0.故正确综上可知，命题都正确【方法规律】不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件；(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例即可如果 ab0，那么下列不等式成立的是()A1a1b Babb2Caba2 D|
9、a|b|【答案】A【解析】abb0，ab0，则 aab bab，即1b1a，A 成立ab，bb2，B 不成立ba，a0，aba2，C 不成立ab|b|，D 错误故选 A比较大小要注重分类讨论【示例】设 xR 且 x1，比较 11x与 1x 的大小【错解】11x(1x)11x21x x21x，而 x20，当 x1 时，x10，x21x0，即 11x1x；当 x1 时，x10，x21x0，即 11x1x.【错因】这里分类不完全，在 x1 时，x20，不应有 x21x0，最好把 x0 分一类进行讨论，这样比较恰当【正解】11x(1x)x21x，而 x20.当 x0 时，x21x0，11x1x.当 1
10、x0，即 x1 时，x21x0，11x1x.【警示】作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标准当 1x0 且 x0，即1x0 或 x0 时，x21x0，11x1x.1在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件2要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性3ab0，ab0，ab0反映了实数的运算性质，ab，ab，ab反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系1在数列an中，若 an nn2，则 an 与 an1 的大小关系为()Aanan1 Banan1Canan1 D不能确定【答案】B【解析】an nn2n22n2 1 2n2，an11 2n3，又 nN*，故 anN【解析】MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a2 1)(a2 1)(a1 1)(a2 1)，又 a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.点击进入WORD链接