1、阶段性测试题六(不等式)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2011湖南桃江四中)若ab2，给定下列不等式ab；loga3logb3.其中正确的个数为()A0B1C2D3答案D解析ab2，、显然正确，又ab(ab)(a1)(b1)1(21)(21)10，也正确，根据对数函数的性质知，不正确(理)(2011山东莱芜阶段测试)已知a0，b0，且2a3b1，则的最小值为()A24 B25 C26 D27答案B解析a0，
2、b0,2a3b1，(2a3b)1313225等号在ab时成立，的最小值为25.2(文)(2011湖北宣城一中月考)若0a1a2,0b1，a1a2b1b2，a1b2a2b10，点集S的点(x，y)满足下列所有条件：x2a；y2a；xya；xay；yax.则S的边界是一个有几条边的多边形()A4 B5 C6 D7答案C解析作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形3(文)(2011福建龙岩质检)已知集合Mx|0，集合Nx|x2x20，则MN()Ax|x1 Bx|x1Cx|1x1 Dx|1x1答案D解析Mx|x1，Nx|2x1，MNx|1xQ答案C解析QP.4(文)(2011山东济南调研)设
3、a1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为()Anmp BmpnCmnp Dpmn答案B解析a1，a212aa1，loga(a21)loga(2a)loga(a1)，即mpn.点评指对函数的单调性常常与不等式的性质结合命题考查，解决这类问题，要特别注意不等式性质运用中条件的把握，以及0a1时yax(或ylogax)单调性的区别请再练习下题：设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Blogbloga0C2b2a2 Da2ab1答案C解析A中，ba，b2loga，B不正确C中，函数y2x为增函数，由ba1，2b2a21，C正确D中，由b
4、ab，不正确(理)设函数f(x)则不等式f(x)2的解集是()A(1,2)(3，) B(，)C(1,2)(，) D(1,2)答案C解析当x2得，x1，1x2，得x或x.不等式f(x)2的解集是(1,2)(，)故选C.5(文)(2011巢湖质检)二元一次不等式组所表示的平面区域与圆面x2(y2)22相交的公共区域的面积为()A. B. C. D答案B解析画出可行域如图OAB，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF，OBA，圆半径为，扇形面积为S()2.(理)(2011天津河西区质检)已知点A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是()A3,3 B，C，3
5、D3，答案B解析在上的投影为z|cos，|2为定值，z的取值范围取决于，的大小，由图知，z，3，故选B.6(文)(2011广东佛山质检)已知x0、y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2 D4答案D解析由等差、等比数列的性质得2224.当且仅当xy时取等号(理)(2011四川成都期末)已知ab0，且ab1，设c，Plogca，Nlogcb，Mlogcab，则有()APMN BMPNCNPM DPNb0，且ab1，所以a1,0b22，c1，所以logcalogcablogcb，即PM0，a1)满足f()f()，则f(1)1的解集是()Ax|0x
6、Bx|0xCx|1x Dx|1x1，则，而函数f(x)logax递增，所以应有f()f()，与条件不符，所以必有0a1可得01a，解得1x，故选D.8(2011西安远东一中月考)设x，y满足，则zxy()A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值答案B解析作出不等式组表示的平面区域如图，由图可知zxy在点A处取最小值zmin2，无最大值9(文)(2011南昌三中月考)若函数f(x)x2axb有两个不同的零点x1，x2，且1x1x20，b4.f(x)x24xb，f(1)1f(3)1b40，故f(1)，f(3)两个函数值都小于1；当函数图象不关于直线
7、x2对称时，f(1)，f(3)两个函数值中至少有一个小于1.(理)(2011辽宁沈阳二中检测)已知，若zx2y的最大值是3，则a的值是()A1 B1 C0 D2答案A解析画出可行域如图，zx2y的最大值为3，y经过可行域内的点A(a，a)时，z取到最大值3，a2a3，a1.10(2010汕头模拟)在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xa)*(xa)1对任意实数x恒成立，则()A1a1 B0a2Ca Da答案C解析由运算“*”的定义知，(xa)*(xa)1可化为(xa)(1xa)0对任意实数x恒成立，14(a2a1)0，a0，y0)，2(xy)218，等号在，即y2x时成立，xy，x，y时
8、，取最小值18.12(文)(2011巢湖市质检)定义在R上的函数f(x)对x1，x2R，(x1x2)f(x1)f(x2)0，若函数f(x1)为奇函数，则不等式f(1x)0的解集为()A(1，) B(0，)C(，0) D(，1)答案C解析由条件知f(x)在R上单调递减，f(x1)为奇函数，f(1)0，不等式f(1x)0化为f(1x)1，x0.点评如果x0在函数F(x)定义域内，F(x)为奇函数，则必有F(0)0，F(x)f(x1)为奇函数，有F(0)f(1)0.(理)(2011江西新余一中月考)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1
9、)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)答案D解析由函数f(x)为奇函数可知0，而f(1)0，则f(1)f(1)0.不等式化为或，即或.又f(x)在(0，)上为增函数，则奇函数f(x)在(，0)上也为增函数，所以0x1或1x0.故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2010北京东城区调研)已知实数x和y满足，则zxy的最大值为_答案5解析作出可行域如图，当zxy经过可行域内点A(2,3)时，z取最大值5.14(文)(2011咸阳市模拟)已知函数f(x)，则不等式(x1)f(x)x的解集是_答案解析不等式(
10、x1)f(x)x化为或，x0.(理)(2011江西弋阳一中月考)在两个实数间定义一种运算“#”，规定a#b则方程#21的解集是_答案解析由题知2，22.15(2011天津五中模拟)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_答案解析由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如右图所示，这里直线ykx只需经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为，代入可得k.16(2011豫南九校联考)若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时上式取等号利用以上结论，可以得到函数f(x)(x(0，)的最小值为_答案25解析依据给出的结论可知f(x)25等号在，即x时成立三
11、、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2011四川广元诊断)已知x0,1时，不等式x2cosx(1x)(1x)2sin0恒成立，试求的取值范围解析由题意知：x0或x1时，原不等式成立即sin0，cos0，在第一象限，x(0,1)时，x2cos(1x)2sin2x(1x)，原不等式成立，只须2x(1x)x(1x)0注意到x(1x)0，21sin2kk(kZ)，的取值范围应是，kZ.(理)(2011山东淄博一中期末)已知P：关于x的方程x2(m1)x10在区间(0,2)上有两个相异的零点；Q：函数g(x)x3mxm在(，)上有
12、极值若P和Q有且只有一个正确，求m的取值范围解析设f(x)x2(m1)x1，若P正确，则由题意知，解得m1g(x)x2m，(1)若m0，则g(x)0恒成立，即g(x)在(，)为增函数，无极值；(2)若m0，则令g(x)x2m0得x或x，令g(x)x2m0，得x即函数g(x)在(，及，)上为增函数，在，上为减函数，故x及x是g(x)的极值点由(1)、(2)知，当m0时，函数g(x)有极值点P和Q有且只有一个正确，则m的范围是(，1,0)18(本小题满分12分)(文)(2011福建师大附中月考)已知函数f(x)x2axb(a、bR)，g(x)2x24x16，(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(
13、m2)xm15成立，求实数m的取值范围解析(1)g(x)2x24x160，(x2)(x4)0，2x4.不等式g(x)0的解集为x|2x2)，即x24x7m(x1)对一切x2，均有不等式m成立而(x1)2222(当x3时等号成立)实数m的取值范围是(，2点评(2)问中抓住|f(x)|g(x)|恒成立，特别地g(x)0时|f(x)|0恒成立，|f(x)|0，从而f(x)0是解题的关键(理)(2011黄冈市期末)已知函数f(x).(1)证明：函数f(x)在(1，)上为减函数；(2)是否存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由解析(1)任取x1，x2(1，)，且x1
14、0，函数f(x)在(1，)上为减函数(2)不存在假设存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，则x00，03x01，即0f(x0)1，01，x02与x00矛盾，所以不存在负数x0，使得f(x0)3x0成立点评(2)可另解如下：f(x)1，由x00得：f(x0)2但03x00，b0，求ab的最大值解析(1)设交点为(x0，y0)由yx22x2得y2x2曲线C1在(x0，y0)处的切线斜率为k12x02由yx2axb得y2xa曲线C2在(x0，y0)处的切线斜率为k22x0a由k1k21得(2x02)(2x0a)14x2(a2)x02a10又，2x(a2)x02b0由得2a2b50(2)2a2b50
15、aba0，b0，ab()2当且仅当ab时取“”号20(本小题满分12分)(文)(2011蚌埠二中期末)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)51x1450(万元)通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？解析(1)当0x80(xN)时，L(x)250x240x250.当x80(xN)时，L(x)25
16、01200，L(x)(2)当0x950.综上所述，当x100时L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大(理)(2011厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m2、墙高为3m，一面靠旧墙的矩形房屋利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x(单位：m)不得超过a(单位：m)(其平面示意图如下)已知旧墙的维修费用为150元/m2，新墙的造价为450元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)(1)把房屋总造价y(单位：元)表示成x(单位：m)的函数，并写出该函数的定义域；(2)当x为多少时，总造价最低
17、？最低总造价是多少？解析(1)依题意得：y3x(150450)23450540018005400(06时，在x6时总进价最低，最低总造价是27000元当a6时，则y1800当0xa时，y6时，x6总造价最低，最低总造价是27000元；当a6时，xa总造价最低，最低总造价为18005400元21(本小题满分12分)(文)(2011黄冈市期末)已知函数f(x).(1)证明：函数f(x)在(1，)上为减函数；(2)是否存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由解析(1)任取x1，x2(1，)，且x10，函数f(x)在(1，)上为减函数(2)不存在假设存在负数x0，使
18、得f(x0)3x0成立，则x00，03x01，即0f(x0)1，01，x02与x00矛盾，所以不存在负数x0，使得f(x0)3x0成立点评(2)可另解如下：f(x)1，由x00得：f(x0)2但03x01，所以不存在(理)(2011北京市朝阳区期末)已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR)(1)若函数f(x)的图象过点(1,0)，且方程f(x)0有两个相等的实数根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)若F(x)当mn0，a0，且函数f(x)为偶函数时，试判断F(m)F(n)能否大于0?解析(1)f(
19、1)0，ab10.方程f(x)0有两个相等的实数根，b24a0.b24(b1)0.b2，a1.f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x121.所以当2或2时，即k6或k2时，g(x)是单调函数(3)f(x)为偶函数，所以b0.所以f(x)ax21.所以F(x)因为mn0，则n0，所以mn0.所以|m|n|.此时F(m)F(n)f(m)f(n)am21an21a(m2n2)0.所以F(m)F(n)0.22(本小题满分12分)(文)(2011广西希望高中质检)为2008年奥运会的召开，某工艺品加工厂生产了具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“
20、福娃”该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？解析设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别x，y套，月利润为z元，由题意得，目标函数为z700x1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图：目标函数可变形为yx，当y通过图中的点A时，z最大解，得点A坐标为(20,2
21、4)，将点A(20,24)代入z700x1200y得zmax7002012002442800元答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20,24套时月利润最大，最大利润为42800元(理)(2011河南焦作一中月考)要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B两种规格，每张钢板可同时截得A、B两种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型AB甲21乙13已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为5张和10张，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少？(2)有5个同学对线性规划知识了解不多，但是画出了可行域，他们每个人都在可行域的整点中随意取出一解，求恰好有2个人取到最优解的概率解析设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x、y则作出可行域如图(1)因为目标函数为zxy(x、y为整数)，所以在一组平行直线xyt(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解(2)因为可行域内的整点个数为8个，而最优解有两个，所以每个人取得最优解的概率为.所以5个人中有2个人取到最优解的概率为C23.答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8.5个人中恰好有2个人取到最优解的概率为.