1、专题12一次函数与一元一不等式问题1、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行直线yx+4与x轴、y轴分别交于点E，F将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A2B3C4D5【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，CQAQ1，CM2，即AC2AQ2，C（2，2），当C与M重合时，kCM2；
2、当C与N重合时，把y2代入yx+4中得：x2，即kCNCM+MN4，当点C落在EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2k4，则k的值可能是3，故选：B2、如图，点B，C分别在直线y2x和直线ykx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB：AD1：2，则k的值是（）ABCD【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y2x的解析式得：x，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入ykx中得，ak（+2a），解得：k故选：B3、函数与（）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在轴上，那么使，的值
3、都大于零的的取值范围是_ 【思路点拨】使，的值都大于零的图象在轴的上方，这部分图象的自变量在与轴的两个交点的横坐标之间.【答案】12；【解析】由，可知与轴的交点坐标为（1，0），使，的值都大于零的图象在轴的上方，这部分图象的自变量的取值范围是12.【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合4、如图所示，函数和的图象相交于（1，1），（2，2）两点当时，的取值范围是（ ）A1 B12 C2 D 1或2 【答案】D；提示：反映在图象上，是的图象在的上方，这部分图象自变量的取值范围有两部分，是1或2.5
4、、作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当24时，求函数的取值范围；（2）当取什么值时，0，0，0；（3）当取何值时，42【答案与解析】解：当0时，4，当0时，2，即过点（0，4）和点（2，0），过这两点作直线即为的图象，从图象得出函数值随的增大而增大；（1）当2时，8，当4，4，当24时，函数的取值范围为：84；（2）由于当0时，2，当2时，0，当2时，0，当2时，0；（3）当4时，0；当2时，3，当的取值范围为：03时，有42【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.6、某电信公司开设了甲、乙两种市内
5、移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后通话每分钟再付话费0.3元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6元，若一个月内通话时间为分钟，甲、乙两种业务的费用分别为和元(1)试分别写出、与之间的函数关系式；(2)画出、的图象；(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择【答案与解析】解：(1)根据题意可得：(0)，(0)(2)利用两点可画(0)和(0)的图象，如下图所示 (3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，
6、这表示当50时，两个函数的值都等于30因此一个月内，通话时间为50分钟选哪一种通话业务都行，因为付费都是30元，当一个月内通话时间低于50分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时间大于50分钟时，选甲种业务更优惠【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择7、如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，BAC90，点P（1，a）为坐标系中的一个动点（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出ABC的面积；（
7、3）当ABC与ABP面积相等时，求实数a的值【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在RtABC中，由勾股定理得：AB2OA2+OB232+2213ABC为等腰直角三角形，SABCAB2；（3）连接BP，PO，PA，则：若点P在第一象限时，如图1：SABO3，SAPOa，SBOP1，SABPSBOP+SAPOSABO，即，解得；若点P在第四象限时，如图2：SABO3，SAPOa，SBOP1，SABPSBOP+SAPOSABO，即，解得a3；故：当ABC与ABP面积相等时，实数a的值为或38、如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别
8、交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a24a+4+|2ab|0，点P在直线AB的左侧，且APB45（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若ABP为直角三角形，求点P的坐标【解答】解：（1）a24a+4+|2a+b|0，（a2）2+|2a+b|0，a2，b4（2）由（1）知，b4，B（0，4）OB4点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，APB45OPOB4，B（4，0）（3）由（1）知 a2，b4，A（2，0），B（0，4）OA2，OB4，ABP 是直角三角形，且APB45，只有ABP90或BAP90，如图，当ABP90时，BAP45，APB
9、BAP45ABPB过点 P 作 PCOB 于 C，BPC+CBP90，CBP+ABO90，ABOBPC在AOB和BCP中，AOBBCP90，ABOBPC，ABPB，AOBBCP（AAS）PCOB4，BCOA2OCOBBC2P（4，2）当BAP90时，过点P作PDOA 于 D，同的方法得，ADPBOA（AAS）DPOA2，ADOB4ODADOA2P（2，2）即：满足条件的点 P（4，2）或（2，2）9、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行直线yx+4与x轴、y轴分别交于点E，F将菱形ABCD沿x轴向左
10、平移k个单位，当点C落在EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A2B3C4D5【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，CQAQ1，CM2，即AC2AQ2，C（2，2），当C与M重合时，kCM2；当C与N重合时，把y2代入yx+4中得：x2，即kCNCM+MN4，当点C落在EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2k4，则k的值可能是3，故选：B10、如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位
11、长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90，得到线段AB过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒当SBCD时，t的值为（）A2或2+3B2或2+3C3或3+5D3或3+5【解答】解：根据题意得：BAC90，CAO+BAE90，BEx轴，AEB90AOC，ABE+BAE90，CAOABECAOABE，M是AC的中点，ABAM，CA2AB，BEt，AE2分两种情况：当0t8时，如图1所示：SCDBD（2+t）（4）解得：t1t23当t8时，如图2所示，SCDBD（2+t）（ 4）解得：t13+5，
12、t235（不合题意，舍去）综上所述：当t3或3+5时，S；故选：D11、如图，一次函数yx+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC3在直线AB上有一点P，若满足CPBACB，则点P横坐标x的取值范围是 【解答】解：如图所示：过点P1作P1Ex轴于点E，一次函数yx+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC3，AOBO1，则BC2，AC，AB，当CP1BACB时，又CABCAP1，CABP1AC，则，解得：AP15，则AEP1E5，故P1（4，5），当CPBACB时，则点P横坐标x满足：4x，同理可得：当CP2BACB时，又ABCP2BC，C
13、ABP2CB，则，解得：BP22，可得P2（2，1），故当CPBACB时，则点P横坐标x满足：2x，综上所述：4x2且x0故答案为：4x2且x012、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1x交于点C（1）当直线AB解析式为y2x+10时，如图1求点C的坐标；根据图象求出当x满足什么条件时x+10x（2）如图2，作AOC的平分线ON，若ABON，垂足为E，OAC的面积为9，且OA6P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由【解答】解：（1）由題意，解得：，所以C（4，4）观察
14、图象可知x4时，直线AB位于直线OC的下方，即x4时，x+10x（2）由题意，在OC上截取OMOP，连结MQ，ON平分AOC，AOQCOQ，又OQOQPOQMOQ（SAS），PQMQ，AQ+PQAQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AMOC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；ABON，AEOCEO，AEOCEO（ASA），OCOA6，OAC的面积为9，OCAM9，AM3，AQ+PQ存在最小值，最小值为313、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yk1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OBOA，直线l2：yk2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点
15、（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CDAB时，求点D的坐标和BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yk1x+6，当x0时，y6，OB6，OBOA，OA2，A（2，0），把A（2，0）代入：yk1x+6中得：2k1+60，k1，直线l1的解析式为：yx+6；（2）如图1，过C作CHx轴于H，C（，1），OH，CH1，RtABO中，AB4，AB2OA，OBA30，OAB60，CDAB，ADE90，AED30，EH，OEOH+EH2，E
16、（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入yk2x+b中得：，解得：，直线l2：yx+2，F（0，2）即BF624，则，解得，D（，3），SBCDBF（xCxD）4；（3）分四种情况：当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DMy轴于M，过C作CNy轴于N，QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，CQD90，CQDQ，DMQCNQ90，MDQCQN，DMQQNC（AAS），DMQN，QMCN，设D（m，m+6）（m0），则Q（0，m+1），OQQN+ONOM+QM，即m+1m+6+，m12，Q（0，2）；当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DMx轴于M，过C作CNx轴于N，同理得：DMQQNC（
17、AAS），DMQN，QMCN1，设D（m，m+6）（m0），则Q（m+1，0），OQQNONOMQM，即m+6m1，m54，Q（64，0）；当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DMx轴于M，过C作CNx轴于N，同理得：DMQQNC（AAS），DMQN，QMCN1，设D（m，m+6）（m0），则Q（m1，0），OQQNONOM+QM，即m6m+1，m45，Q（46，0）；当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DMy轴于M，过C作CNy轴于N，同理得：DMQQNC（AAS），DMQN，QMCN，设D（m，m+6）（m0），则Q（0，m+1），OQQNONOM+QM，即m6+m1，m21，Q（0，2）；综上，存在点Q，使QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，2）或（64，0）或（46，0）