1、第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理(重点)2能用归纳和类比进行简单的推理(难点)3了解合情推理在数学发现中的作用1归纳推理与类比推理名称定义特征归纳推理由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_概括出_的推理，称为归纳推理归纳推理是_的推理类比推理由两类对象具有某些_特征和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有_的推理，称为类比推理类比推理是_的推理部分对象全部对象个别事实一般结论由部分到整体、由个别到一般类似已知特征这些特征由特殊到特殊2.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有
2、的事实，经过_、_、_、_，再进行_、_，然后提出_的推理，我们把它们统称为合情推理观察分析比较联想归纳类比猜想1下列关于归纳推理的说法错误的是()A归纳推理是一种从一般到一般的推理过程B归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程C归纳推理得出的结论不一定正确D归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析：归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论未必正确故B、C、D正确，A错误答案：A2下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A三角形 B梯形C矩形D平行四边形解析：因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适答案：D3通
3、过类比长方形，由命题“周长为定值 l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为 l216”，可猜想关于长方体的相应命题为_答案：表面积为定值 S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S6324观察下列不等式112232，1122 13253，1122 13214274，照此规律，第五个不等式为_解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1122 132142152162116.答案：1122 132142 1521621161归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的
4、特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验，即结论不一定可靠(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题归纳推理2归纳推理的一般步骤(1)通过对有限资料进行观察、分析，发现某些相同性质一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么归纳出的一般性结论就越可能为真(2)猜想：在以上基础上提出带有规律性的结论(3)检验：检验猜想【想一想】1.(1)归纳推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，
5、而是或然性的，结论不一定正确(2)归纳推理的前提条件是什么？归纳所得的结论有什么要求？提示：有几个已知的特殊现象，结论是未知的一般现象，该结论应该超越前提所包含的范围1类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题类比推理2类比推理的特点类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，以旧认识为基础，类比出新结果类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠类比的结果是猜测性的，不一定正确但它却具有发现的功能3类比推理的适用前提 运用
6、类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象4归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假【想一想】2.类比推理的结论一定正确吗？提示：类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠合情推理合情推理的过程从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比 提出猜想有两
7、种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有阴影的正六边形的个数是()归纳推理的应用A26 B31C32D36思路点拨本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查块数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有阴影正六边形自主解答 方法一 有阴影的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有阴影的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有阴影的正六边形的个数是65(61)31.故选B.方法二 由图案的排列规律可知，除第一块无阴影正六边形需6个有阴影的正六边形围
8、绕(第一个图案)外，每增加一块无阴影正六边形，只需增加5块有阴影正六边形(每两块相邻的无阴影正六边形之间有一块“公共”的有阴影正六边形)，第六个图案中有阴影的正六边形的个数为65(61)31，故选B.答案：B1解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律2通过一组图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需把形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：1蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图一组蜂巢的截面图中，第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢
9、总数，则f(4)_，f(n)_.解析：f(4)456765437，f(n)n(n1)(2n1)(n1)n2nn2n12(2n1)3n23n1.答案：37 3n23n1类比推理的应用如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是ABC三条边上的高，P为ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论pahapbhbpchc1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明思路探究三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高自主解答 paha12BCpa12BChaSPBCSABC，同理，pbhbSPACSABC，pchcSP
10、ABSABC.SPBCSPACSPABSABC，pahapbhbpchcSPBCSPACSPABSABC1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论pahapbhbpchcpdhd1.证明如下：paha13SBCDpa13SBCDhaVPBCDVABCD，同理，pbhbVPACDVABCD，pchcVPABDVABCD，pdhdVPABCVABCD.VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，pahapbhbpchcpdhd
11、VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD1.1本题是平面图形与立体图形之间的类比推理，一般地，平面图形与空间图形类比如下：平面图形 点线边长面积线线角三角形空间图形 线面面积体积二面角四面体2.类比推理的思维过程观察、比较联想、类推猜测新的结论即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处2在本例中，若ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由abcos Cccos B可类比四面体的什么性质？解：在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示面 PAB，面 PBC，
12、面 PCA与底面 ABC 所成二面角的大小猜想 SS1cos S2cos S3cos.合情推理在数阵中的应用观察如图所示的“三角数阵”1第 1 行 2 2第 2 行 3 4 3第 3 行 4 7 7 4第 4 行5 11 14 11 5第 5 行 记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an1与an的关系式思路点拨观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果(2)由数阵可直接写出答案(3)写出a3a2，
13、a4a3，a5a4，从而归纳出(3)的结论自主解答 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数(1)6,16,25,25,16,6.(2)a22，a34，a47，a511.(3)a3a22，a4a33，a5a44，由此归纳：an1ann.对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解3将全体正整数排成一个三角形数阵，根据以下规律，数阵中第 n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：第 2 行最右边的数为 3232；第 3 行最右边的数为 6342；第 4 行最右边的数为 10452；故猜想第 n1 行最右边的数为n1n2，第 n 行从左到右的第 3 个数是n1n2312(n2n6)答案：12(n2n6)1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想点击进入WORD链接谢谢观看！