1、单元素养评价(二)(2.12.3.4)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1点(1，y1)，(2，y2)是直线y2x1上的两点，则y1与y2的大小关系为()Ay1y2By1y2Cy1y2 D无法判断【解析】选B.因为y2x1是增函数，所以由12，得y1y2.2若点P(4，2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A7B7C1D1【解析】选D.因为点P(4，2，3)关于坐标平面xOy的对称点为(4，2，3)，点P(4，2，3)关于y轴的对称点的坐标为(4，2，3)，因为点P(4，2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称
2、点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，所以c3，e4，所以ce1.3把直线xy10绕点(1，)逆时针旋转15后，所得直线l的方程是()Ayx ByxCxy20 Dxy20【解析】选B.已知直线xy10的斜率为1，则其倾斜角为45，所以直线l的倾斜角451560，直线l的斜率为tan tan 60，所以直线l的方程为y(x1)，即yx.4点P与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A1B4C4D1【解析】选A.设圆上任一点为Q，PQ中点为M，根据中点坐标公式，得因为Q在圆x2y24上，所以xy4，即4，化为1.5过点的直线l被圆(x1)2y24所截得的弦长最短时，直线l的斜率为(
3、)A1 B1 C D【解析】选A.点在2y24圆内，要使得过点的直线l被圆2y24所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为1，所以所求直线斜率为1.6已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A作圆C的一条切线，切点为B，则()A2 B4 C6 D2【解析】选C.圆C标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径为r2，因此2a110，a1，即A(4，1)，6.7圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离【解析】选B.化简圆
4、M：x2(ya)2a2(a0)M(0，a)，r1aM到直线xy0的距离d2a2a2M(0，2)，r12，又N(1，1)，r21|MN|r1r2|MN|r1r2|两圆相交8已知P是直线kx4y100(k0)上的动点，过点P作圆C：x2y22x4y40的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为()A B C2 D3【解析】选D.圆的标准方程为221，则圆心为C，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACBSPACSPBC，而SPAC，SPBC，又，所以当取最小值时取最小值，即SPACSPBC取最小值，此时，CPl，四边形PACB面积的最小值为2，SPACS
5、PBC，所以2，所以3，所以3，因为k0，所以k3.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有()Ayx1 Byx3Cy2x Dy2x【解析】选AC.当直线过原点时，可得斜率为2，故直线方程为y2x；当直线不过原点时，设方程为1，代入点(1，2)可得1，解得a1，故方程为xy10.故所求直线方程为：y2x或yx1.10若圆22r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值可以是()A4 B5 C D6【解析】选BC.易求圆心(3，5)，到直线4x3y20的距离
6、d5，由已知得d1rd1，即4r0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以1，得k，b.方法二：因为直线ykxb(k0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以直线ykxb必过两圆心连线的中点，所以2kb0.设直线ykxb的倾斜角为，则sin ，又k0，所以，所以ktan ，b2k.答案：四、解答题(共70分)17(10分)已知点A(2，2)，直线l1：3x4y20.(1)求过点A且与直线l1垂直的直线方程(2)直线l2为过点A且和直线l1平行的直线，求平行直线l1，l2的距离【解析】(1)设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x3ym0.把点A的坐标代入可得：86m0，解得m2
7、.所以过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x3y20.(2)设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为：3x4yn0.把点A的坐标代入可得：68n0，解得n14.所以直线l2的方程为：3x4y140.所以平行直线l1，l2的距离d.18(12分)已知直线l：(2m)x(12m)y43m0.(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点(2)过点M(1，2)作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程【解析】(1)因为m(x2y3)2xy40，所以由题意得解得所以直线l恒过定点(1，2).(2)设所求直线l1的方程为y2k(x1)，直线l1与x轴、y轴交于A，B两点，则
8、A，B(0，k2)，因为AB的中点为M，所以解得k2，所以所求直线l1的方程为2xy40.19(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600上一点A.(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程【解析】(1)由圆心N在直线x6上，可设N.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为221.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆
9、心M到直线l的距离d，因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.20(12分)已知ABC的三个顶点A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆圆心为H.(1)求圆H的方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围【解析】(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0，则有解得则圆H的方程为x2y26y10.(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即12d2
10、10，因此d3，又直线l过点C，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若lx轴，直线方程为x3，满足题意；若l的斜率存在，设l的方程为yk(x3)2，圆心到直线的距离为d3，解得k，直线方程为4x3y60，综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)结合图象(图略)由题意得：0CPr2r，即rCP3r恒成立，所以从而r.21(12分)已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的点，且4，求Q点坐标【解析】(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的
11、坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy24.所以解得所以Q点的坐标为Q(1，1).22(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有解得或由于点C(a，b)在第二象限，故a0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x或x0(舍去).所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长