1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年度上半学期高一数学期末考试试卷一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）A. 圆锥B. 圆柱C. 球体D. 以上都可能【答案】D【解析】试题分析：用平行于圆锥，圆柱底面的平面去截圆锥可得到圆面，用平面去截球得到的截面都是圆面考点：几何体特征2. 下列直线与直线平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等进行判断，再验证不重合即可.【详解】已知直线的斜率为，与直线平行的直线满足斜率，且能化成的形式.选项A中，直线的斜
2、率为：，故不平行；选项B中，直线的斜率为：，故不平行；选项C中，直线斜率为：，故不平行；选项D中，直线的斜率为：，故斜率相等，又直线中，故与不重合，故满足题意.故选：D.3. 直线 倾斜角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.【详解】直线化成斜截式为，因为 ，所以.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.4. 圆的公切线的条数为 ( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线【详解】 |C1C2|r1+r2，所以圆C
3、1与圆C2相离，有4条公切线故选A【点睛】本题考查了两圆公切线的条数，属中档题5. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.【详解】连接如下图所示，分别是棱和棱中点，正方体中可知，是异面直线所成的角，为等边三角形，.故选：C.【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
4、体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体为一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，可求出圆锥的高，进而求出体积即可.【详解】由空间几何体的三视图知，该几何体为一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，则圆锥的高为，所以该圆锥的体积.故选：A【点睛】本题考查三视图、圆锥体积的计算，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题.7. 设，表示两条直线，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，.，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D
5、.【详解】A错，线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，B错，与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，C错，两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D对，线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，故选：D.8. 直线l：xy20与圆O：x2y24交于A，B两点，O是坐标原点，则AOB等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离d，由此能求出弦长AB,在三角形AOB中利用三边可得AOB【详解】圆心O（0，0）到直线xy20的距离d，可得AB2,所以AOB90，故选D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关
6、系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题9. 在正方体中，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，四点共面的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】选项A、B、C中，由其中三个点确定一个平面，再判断第四个点是否在该平面内，选项B通过证明两直线平行，从而判断四点共面.【详解】选项A，点，确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在直线上，故，不共面，选项A错误；选项B，连接底面对角线，则由中位线定理可知，又易知，则，故，共面，选项B正确；选项C，显然，所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故故，不共面，选项C错误；选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是
7、点，确定的平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故，四点不共面，选项D错误.【点睛】方法点睛：判断四点共线的方法有：（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.10. 点，动点满足，则满足的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设动点，直接利用已知条件列关系，化简即得结果.【详解】设动点，满足，即，又由，得，化简整理可得，.故选：A.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法：（1）直接法：设动点，直接利用已知条件构建关系，再化简整理即得轨迹方程；（2）相关点法：先设
8、所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果；（3）定义法：根据动点满足的关系判断其轨迹是熟知的圆、椭圆、双曲线等，利用定义写方程即可；（4）参数法：需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果.11. 直线与曲线有且有一个公共点，的取值范围为（ ）A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】先整理曲线方程可知其图象为半圆（含端点），并画出图象，再画斜率是1的一系列直线进行数形结合，观察何时有且有一个公共点，求得参数的取值范围即可【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部
9、分）如图，A（0，1），B（1，0），C（0，1），作一系列斜率是1的直线，当直线经过点A时，1=0+b，求得 b=1，此时满足有且只有一个一个公共点，当直线经过点B，点C时，0=1+b，求得b=1，此时有两个公共点，故时满足有且只有一个一个公共点；当直线和半圆相切时，即直线，由圆心到直线的距离等于半径1，可得，求得或（舍去），故时满足有且只有一个一个公共点.综上，的取值范围为或.故选：B.【点睛】本题解题关键在于先化简明确曲线是一个半圆（含端点），才能通过数形结合突破难点.12. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，
10、地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）A. 20B. 40C. 50D. 90【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据
11、平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13. 以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】已知圆的圆心，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可【详解】P（1，1）为圆心，且经过原点，半径r=，圆的标准方程为.故答案【点睛】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题14. 若，为的中
12、点，_.【答案】【解析】【分析】由中点坐标公式得出点坐标，再由空间两点距离公式得出距离【详解】的坐标为即故答案为：15. 若正四面体ABCD的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论.【详解】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1,正方体的对角线长为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为,故答案为：【点睛】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于容易题.16. 如图，在正方体中，分别是棱，的中点，则下列结论中：； 面； 面面；
13、 面正确结论的序号是_.【答案】.【解析】【分析】由，是正三角形，可判断；判断出平面，平面平面，可判断；假设面面，则可以推出可判断；由平面平面，平面，可判断.【详解】连接，分别是，的中点 对于，因方，是正三角形，所以与不垂直；对于，连接，因为，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，因为，且，所以平面平面，所以平面正确；对于，如果面面，由平面平面，平面平面，则，显然不正确；对于，因为平面平面，平面，所以平面，正确故选：.【点睛】方法点睛：本题主要考查了正方体中垂直与平行关系，考查了线线垂直、线面垂直的判定、线面平行的判断、面面平行的判断与性质，对于证明线线关系、线面关系，面面关系等方面的
14、问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明， 属于中档题.三、解答题（本题共计6小题，共计70分） 17. 已知的三个顶点分别为，（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】【详解】（1）依题意得，因为，所以直线的斜率为：，可得直线的方程为：，即直线的方程为.（2）当两截距均为0时，设直线方程为，因为直线过点，解得，得直线方程为，当截距均不为0时，设直线方程为，因为直线过点，解得，得直线方程为，综上所述，直线方程为或.18. 如图，在四棱锥中，分别为棱的中点.（1）证明：面平面.（2）证明：平面平面
15、.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明平面，证得面平面.（2）通过证明，证得平面平面.【详解】（1）由于，所以，所以，因为，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面；由于方分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面；由于，所以平面平面.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查面面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.19. 已知直线与圆相交.（1）求的取值范围；（2）若与相交所得弦长为，求直线与相交所得弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆求出圆心和半径，利用圆
16、心到直线的距离小于半径即可求解；（2）由与相交所得弦长为，利用弦长的一半、弦心距、圆的半径满足勾股定理可求出圆的半径，再次利用勾股定理即可求解.【详解】（1）圆的圆心为，半径为.因为直线与圆相交，所以圆心 到的距离解得：，即的取值范围是.（2）因为与相交所得弦长为，所以，因为圆心 到的距离，所以直线与M相交所得弦长为.【点睛】方法点睛：有关圆的弦长的两种求法（1）几何法：直线被圆截得的半弦长为，弦心距和圆的半径构成直角三角形，即；（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系可求得弦长或20. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二
17、面角的余弦值【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，先证明四边形为平行四边形，即得，再利用线面平行判定定理即证得结论；（2）根据垂直关系建立以为坐标原点的空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即求得结果.【详解】解：（1）证明：如图，取的中点，连接.分别为的中点，且，又且即，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（2）因为，故，又底面，故两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则， ，设平面的法向量，则，令，则，.平面，为平面的一个法向量，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具
18、体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错；（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量；（4）利用法向量求二面角.21. 如图1，在梯形中，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.（1）证明：；（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明平面，则有；（2）等体积法求点到平面的距离.【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，为斜边，.平面平面，平面平面，平面平面，平面，；（2）解：由（1）知，平面，由题意可得，则，
19、为棱的中点，在中，即，则的面积为，设点到平面的距离为，.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.22. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线相切(1)求圆C的方程；(2)设点，过点作直线与圆C交于两点，若，求直线的方程；(3)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线，切点为求证：经过 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标【答案】(1) (2) 或；(3) 见证明【解析】【分析】（1）设圆心，由直线和圆相切可得：，利用点到直线距离公式即可求得，问题得解（2）若直线的斜率不存在，即：，检验得：成立，若直线
20、的斜率存在，可设直线：，由圆的弦长计算公式可得：，即可求得，问题得解（3）设，由题可得：经过，的三点的圆是以为直径的圆，即可求得该圆的方程为：，列方程即可求得定点的坐标为，问题得解【详解】（1）解：设圆心，圆心到直线的距离为则由直线和圆相切可得：，可得，解得（负值舍去），即圆的方程为；（2）解：若直线的斜率不存在，即：，代入圆的方程可得，即有，成立；若直线斜率存在，可设直线：，即为，圆到直线的距离为，由，即有，解得，即，解得，则直线的方程为，所以的方程为或；（3）证明：由于是直线上的点，设，由切线的性质可得，经过，的三点的圆是以为直径的圆，则方程为，整理可得，令，且.解得或.则有经过，三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的关系，还考查了圆的弦长计算及点到直线的距离公式，考查了分类思想及转化思想，考查计算能力，属于难题- 22 - 版权所有高考资源网