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2021-2022学年新教材高中数学 第二章 圆锥曲线 2.3.1 抛物线及其标准方程课后素养落实(含解析)北师大版选择性必修第一册.doc

1、课后素养落实(十五)抛物线及其标准方程(建议用时:40分钟)一、选择题1设抛物线的顶点在原点,准线方程x2,则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28xDy24xC由准线方程x2,顶点在原点,可得两条信息:该抛物线焦点为F(2,0);该抛物线的焦准距p4故所求抛物线方程为y28x2若动点P到定点F(1,0)和直线l:y0的距离相等,则动点P的轨迹是()A线段B直线C椭圆D抛物线B设动点P(x,y),则|y|化简得x1故动点P的轨迹是直线x13抛物线y212ax(a0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()Ay28xBy212xCy216xDy220xA准线方

2、程l:x3a,M到准线的距离等于它到焦点的距离,则33a5a抛物线方程为y28x,故选A4抛物线y24x上一点P到焦点的距离是10,则点P的坐标是()A(6,9)B(9,6)C(9,6)D(6,9)B设P(x0,y0),则|PF|x0(1)x0110,x09,y36,y065已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线y22px上的三点,点F是抛物线y22px的焦点,且|P1F|P3F|2|P2F|,则()Ax1x32x2Bx1x32x2Cx1x30)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则_如图,由抛物线定义:|AF|AA1|,

3、|BF|BB1|又已知AB的倾斜角为30,|BB1|AA1|AB|(|AF|BF|),|BF|AF|(|AF|BF|),整理得|BF|3|AF|,三、解答题9分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为解(1)由题意,方程可设为y2mx或x2ny将点A(2,3)的坐标代入,得32m2或22n3,m或n所求的抛物线方程为y2x或x2y(2)由焦点到准线的距离为可知p所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y10学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图,航天器运行(按顺序时

4、针方向)的轨迹方程为1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0)观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解(1)设曲线方程为yax2,由题意可知,064a,a曲线方程为yx2(2)设变轨点为C(x,y),联立得4y27y360y4或y(不合题意,舍去)由y4得x6或x6(不合题意,舍去)C点的坐标为(6,4),此时|AC|2,|BC|4故当观测点A,B测得AC,BC

5、距离分别为2,4时,应向航天器发出变轨指令11已知A为抛物线C:y22px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p()A2B3C6D9C法一:因为点A到y轴的距离为9,所以可设点A(9,yA),所以y18p又点A到焦点的距离为12,所以12,所以18p122,即p236p2520,解得p42(舍去)或p6故选C法二:根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x的距离为12,因为点A到y轴的距离为9,所以129,解得p6故选C12若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点,则p()A2B3C4D8D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为,椭圆1的焦点坐标为(,0)由

6、题意得,p0(舍去)或p8故选D13设圆C与圆x2(y3)21外切,与直线y0相切,则C的圆心的轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆A法一:设圆C的半径为r,则圆心C到直线y0的距离为r由两圆外切,得圆心C到点(0,3)的距离为r1,也就是说,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y0的距离大1,故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C的轨迹为抛物线法二:设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r,点A(0,3),由题意得|CA|r1y1,y1,化简得yx21,圆心的轨迹是抛物线14(一题两空)设F为抛物线y24x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若0,则ABC重

7、心的坐标为_;|_(1,0)6因为0,所以点F(1,0)为ABC的重心,则xAxBxC3,所以|xA1xB1xC1615(多选题)如图所示,抛物线yx2,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),则下列结论正确的有()A若AB的斜率为1,则|AB|8B|AB|min4CxAxB4D若AB的斜率为1,则xM2ABCD由题意得,焦点F(0,1),对于A,lAB的方程为yx1,与抛物线的方程联立,得 消去x,得y26y10,所以yAyB6,则|AB|yAyBp8,则A正确;对于B,|AB|min2p4,则B正确;设lAB的方程为ykx1,与抛物线的方程联立,得 消去y,得x24kx40,所以xAxB4k,xAxB4,则C正确;对于D,当AB的斜率为1时,设过点A抛物线的切线方程为yxk,代入yx2得,x24kxx4kxA 0,则 16k24x16kxA 0,即k,过点A抛物线的切线方程为y xx,同理过点B抛物线的切线方程为y xx,联立解得xM2,则D正确

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