1、第2课时函数奇偶性的应用水平1 题组一利用函数的奇偶性求参数的值或范围1已知一个奇函数的定义域为1，2，a，b，则ab等于()A1 B1 C.0 D2【解析】选A.因为一个奇函数的定义域为1，2，a，b，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于2，所以ab1(2)1.2函数f(x)在x(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A.2，2 B1，1C.0，4 D1，3【解析】选D.因为f(x)为奇函数，f(1)1，所以f(1)1.因为1f(x2)1，所以f(1)f(x2)f(1).又因为f(x)在x(，)上单调递减，所以1x21，所
2、以1x3.3设定义在(1，1)上的奇函数f(x)在x0，1)上单调递增，且有f(1m)f0，则实数m的取值范围为()A. BC. D【解析】选A.由于函数f(x)的定义域为(1，1)，则有，解得0m.又f(1m)f0，函数f(x)为奇函数，所以f(1m)ff.因为函数f(x)是奇函数，且在x0，1)上单调递增，所以函数f(x)在定义域(1，1)上单调递增，则有1m，所以实数m的取值范围为.题组二函数的奇偶性和单调性的综合应用1若偶函数f(x)在区间3，6上单调递增且f(6)9，则它在区间6，3上()A.最小值是9 B最小值是9C.最大值是9 D最大值是9【解析】选D.因为f(x)是偶函数且在区
3、间3，6上单调递增，所以f(x)在区间6，3上单调递减因此，f(x)在区间6，3上最大值为f(6)f(6)9.2f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()A.f(x)f(x)是偶函数且是增函数B.f(x)f(x)是偶函数且是减函数C.f(x)f(x)是奇函数且是增函数D.f(x)f(x)是奇函数且是减函数【解析】选C.A错误，设f(x)x，是增函数，但f(x)f(x)xx0是常数函数；同理B错误；C正确，设g(x)f(x)f(x)，则g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)g(x)，函数g(x)是奇函数任取x1，x2R，且x1x2，g(x1)f(x1)f(x1)，g(x2)f(x
4、2)f(x2)，因为f(x)是定义在R上的增函数，所以f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2).所以f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)，即g(x1)g(x2).所以函数g(x)f(x)f(x)是增函数，D错误3已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(4，4)，且在(4，0上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_【解析】设h(x)f(x)g(x)，补全f(x)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当4x0，g(x)0，此时h(x)0；当0x2时，f(x)0，此时h(x)0，所以h(x)0的解集为(4，2)(0，2).答案：(4，2)(0，2)题组三函数的基
5、本性质的综合应用1设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，若x10，则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不确定【解析】选A.因为x10，所以x2x10，又f(x)在x(0，)上单调递减，所以f(x2)f(x1)，因为f(x)是偶函数，所以f(x2)f(x2)0时，f(x)x22x，在区间1，a2上单调递增，则实数a的取值范围为_【解析】由已知可得函数f(x)的图象，如图，要使f(x)在x1，a2上单调递增，必须所以10成立若f(x)m22am1对所有的a1，1恒成立，求实数m的取值范围【解析】任取x1，x21，
6、1，且x10，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在x1，1上单调递增因为f(1)1，且f(x)在x1，1上单调递增，所以在x1，1上，f(x)1.f(x)m22am1等价于m22am11，即m22am0，对a1，1成立设g(a)2mam2，若m0，则g(a)00，对a1，1恒成立若m0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)0对a1，1恒成立，则必有g(1)0，且g(1)0，即解得m2或m2.综上所述，实数m的取值范围是(，202，).易错点一没有搞清分段函数及奇偶性的概念致错1关于函数f(x)的性质描述正确的是()A.f(x)是奇函数B.f(x)
7、是偶函数C.f(x)是奇函数，也是偶函数D.f(x)不是奇函数，也不是偶函数【解析】选D.当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)，当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)，但是f(0)3，所以f(x)不是奇函数，也不是偶函数2已知函数f(x)，则不等式f(|2x1|)4的解是_；不等式2f(x)f(4x2)的解是_【解析】容易作出函数f(x)的图象如下，显然函数f(x)在xR上单调递增，又422f(2)，所以f(|2x1|)4f(|2x1|)f(2)，所以|2x1|2，22x12，所以x.x0，2f(x)2x2(x)2f(x)；x0，2f(x)2x2(x)2f
8、(x).所以xR时，2f(x)f(x)，2f(x)f(4x2)f(x)f(4x2)，所以x4x2，x2x40，(x2)(x)0，所以x或x2.答案：【易错误区】分段函数的奇偶性要分段讨论，不能只验证一部分易错点二判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错(多选)已知函数f(x)x2|xa|1，xR，a，则函数f(x)的性质为()A.a0时，是偶函数B.a0时，既不是奇函数也不是偶函数C.f(x)的最小值为a21D.f(x)的最小值为1【解析】选ABC.因为a0时，f(x)x2|x|1是偶函数，所以A正确；因为a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，所以f(a)f(a)2|a|0，所以f
9、(x)不是偶函数，f(a)f(a)2a22|a|20，所以f(x)不是奇函数，所以B正确；因为f(x)a，所以f(x)在xa时单调递增，在x0 Bf(x)f(x)0C.f(x)f(x)【解析】选B.因为函数f(x)(f(x)0)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)f(x)20.2若(x)，g(x)都是奇函数，f(x)a(x)bg(x)3在x(0，)上有最大值10，则f(x)在x(，0)上有()A.最小值4 B最大值4C.最小值1 D最大值3【解析】选A.由已知对任意x(0，)，f(x)a(x)bg(x)310.对任意x(，0)，则x(0，).又因为(x)，g(x)都是奇函数，所
10、以f(x)a(x)bg(x)310，即a(x)bg(x)310，所以a(x)bg(x)7，所以f(x)a(x)bg(x)3734.3设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm()A.0 B1 C2 D3【解析】选C.因为f(x)1，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，所以最大值与最小值的和为2.4设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，且当x1，0时，f(x)2x，则f(2 022.5)等于()A.0.5 B2.5 C0.5 D2.5【解析】选B.因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)，因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f
11、(x)，所以f(2 022.5)f(45052.5)f(2.5)f(0.5)f(0.5)20.52.5.5. (多选)已知定义在区间7，7上的一个偶函数，它在0，7上的图象如图，则下列说法正确的是()A.这个函数有两个单调增区间B.这个函数有三个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值7【解析】选BC.根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出其在7，7上的图象，如图所示，由图象可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是7.6(多选)若函数f(x)对任意xR都有f(x)f(x)0成立，mR，则下列的点一定在函数yf(x
12、)图象上的是()A.(0，0) B(m，f(m)C.(m，f(m) D(m，f(m)【解析】选ABC.因为任意xR满足f(x)f(x)0，所以f(x)是奇函数，又xR，所以令x0，则f(0)f(0)，得f(0)0，所以点(0，0)，点(m，f(m)与(m，f(m)也一定在yf(x)的图象上二、填空题(每小题5分，共20分)7已知函数f(x)ax3bx4(a，b均不为零)，且f(5)10，则f(5)_【解析】令g(x)ax3bx(a，b均不为零)，易知g(x)为奇函数，从而g(5)g(5).因为f(x)g(x)4，所以g(5)f(5)46，所以f(5)g(5)4g(5)42.答案：28下列函数中
13、是奇函数的为_(填序号)f(x)(x1)；f(x)；f(x)；f(x)|x1|x1|.【解析】因为f(x)(x1)要有意义，则0且1x0，解得10时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x).所以函数yf(x)为奇函数由题意可得，所以2x2且x0，所以，函数yf(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称，又f(x)f(x)，所以函数yf(x)为偶函数对于任意实数x，都有f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，所以f(x)是奇函数答案：9已知函数f(x)是奇函数，且在上单调递减，则实数a_；实数m的取值范
14、围用区间表示为_【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)0，即1a(1)10，解得a1；因此f(x)，根据二次函数的性质，可得，当x0时，函数f(x)x2x在区间上单调递减，在区间上单调递增；又因为f(0)0，所以由奇函数的性质可得：函数f(x)在区间上单调递减；因为函数f(x)在上单调递减，所以只需：，即，解得m0.答案：110已知函数f(x)是定义在a1，2a上的偶函数，且当x0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x1)f(a)的解集为_【解析】由题意可得a12a0，所以a，所以f(x1)f(a)等价于|x1|，所以x.所以所求的解集为答案：三、解答题11(10分)设定
15、义域为R的函数f(x)(1)在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间(不需证明)；(2)若方程f(x)2a0有两个解，求出a的取值范围；(3)设定义域为R的函数g(x)为奇函数，且当x0时，g(x)f(x)，求g(x)的解析式【解析】(1)如图单调增区间：1，0，1，)，单调减区间(，1，0，1.(2)在同一坐标系中同时作出yf(x)，y2a的图象，由图可知f(x)2a0有两个解，须2a0或2a1，即a0或a.(3)当x0，所以g(x)(x)2(2x)1x22x1，因为g(x)为奇函数，所以g(x)g(x)x22x1，且g(0)0，所以g(x)设f(x)是定义在1，1
16、上的奇函数，且对任意a，b1，1，当ab0时，都有0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式ff；(3)如果g(x)f(xc)和h(x)f(xc2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围【解析】(1)任取1x10，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在x1，1上单调递增因为a，b1，1，且ab，所以f(a)f(b).(2)因为f(x)是x1，1上单调递增，所以由不等式ff得解得所以x，所以原不等式的解集是.(3)设函数g(x)，h(x)的定义域分别是P和Q，则Px|1xc1x|c1xc1，Qx|1xc21x|c21xc21，于是PQ的条件是c1c21(无解)，或
17、c1c21，即c2c20，解得c2或c1.故c的取值范围是c|c2或c1【加练备选】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,求a的取值范围;若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)当x0,又因为f(x)为奇函数,且a=-2,所以当x0,在(0,+)上f(x)0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,不合题意.所以函数f(x)为R上的单调减函数时,a的取值范围为a0.因为f(m-1)+f(m2+t)0,所以f(m-1)-f(m2+t),又因为f(x)是奇函数,所以f(m-1)-t-m2恒成立,所以t-m2-m+1=-+对任意实数m恒成立,所以t.即t的取值范围是.
