1、第3课时函数的最值水平11若对任意xI，都有f(x)M，则M是函数f(x)的最大值()2一个函数可能有多个最小值()3如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素()4如果函数的值域是确定的，则它一定有最值()5因为不等式x21总成立，所以1是f(x)x2的最小值()【解析】1.提示：.M是存在的，并且x0I，使得f(x0)M.前者是后者的必要不充分条件2提示：.最大(小)值至多有1个3.4提示：.值域确定，但不一定有最值5提示：.f(x)x2的最小值为0.题组一用图象法求函数的最值1若函数yx24x的定义域为0，m，值域为，则实数m的取值范围是()A BC D【解析】选A.f(x)(x2)
2、24，x2时，f(x)取得最小值4，f(0)f(4)0，由f(x)在0，m上的值域为4，0得，2m4.2若xR，f(x)是y2x2，yx这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A2 B1C1 D无最大值【解析】选B.在同一坐标系中画出函数y2x2，yx的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象所以当x1时，f(x)max1.题组二用单调性求函数的最值1函数yx在1，2上的最大值为()A0 B C2 D3【解析】选B.因为函数yx在1，2上单调递增，所以ymax2.2设函数f(x)在区间3，4上的最大值和最小值分别为M，m，则()A B C D【解析】选D.易知f(x)2，
3、所以f(x)在区间3，4上单调递减，所以Mf(3)26，mf(4)24，所以.题组三用换元法或基本不等式求函数的最值1函数f(x)2x的最大值为()A2 B C D【解析】选B.设t，则x1t2，t0，所以f(t)2(1t2)t2t2t2，这个二次函数的对称轴为t，所以f(t)2t2t2在t0时的最大值为22.2若函数f(x)x的定义域为(2，)，若f(x)在xa处取得最小值，则a等于()A1 B1C3 D4【解析】选C.因为f(x)xx22224，当且仅当x2，即x3时取等号所以f(x)的最小值为4.由题意可得a3.【一题多解】设2x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).因为x2x10
4、，当10，即当2x3时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)x单调递减；当x3时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)x单调递增，所以函数f(x)x在x3处取得最小值，所以a3.题组四函数最值在实际问题中的应用1某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量x的单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元【解析】选C.设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15x)台，公司获利为Lx221x2(15x)x219x3030，所以
5、当x9或10时，L最大为120万元2加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟【解析】选B.根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得解得所以p0.2t21.5t2.0.当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟易错点一混淆“不等式恒成立”和“最大值、最小值”的概
6、念1当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)【解析】选C.令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又因为x0，2，所以f(x)minf(0)f(2)0.所以a0时，f(x)xm2m2m，当且仅当x，即x1时取等号，所以f(x)min2m.由题意可得m22m，所以0m2.【易错误区】“不等式f(x)M恒成立”和“函数f(x)的最小值为M”是不同的，前者是后者的必要不充分条件易错点二用换元法、基本不等式求最值时忽略函数的定义域而出错1函数y2x的值域为_【解析】设t(t0)，则x1t2，即xt21，所以y2t2t22，t0，所以当t
7、时，ymin，所以函数g(x)的值域为.答案：2函数f(x)x，x的值域为_【解析】因为对于任意的实数x1，x2，x1x2，则f(x1)f(x2)x1，因为x1x2，所以x1x20，因为x1，x2，所以1x1x24，所以x1x240，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在x上单调递减，因为f(1)5，f，所以f(x)的值域为.【易错误区】应用换元法解题时，要关注引进的新自变量的取值范围即新函数的定义域，否则容易出错应用基本不等式求最值时，要关注等号成立的条件与定义域是否一致，否则容易出错水平1、2限时30分钟分值50分战报得分_一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数f(x)在区间2，5上的
8、图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5)D2，f(5)【解析】选C.由函数的图象知，当x2时，有最小值2；当x5时，有最大值f(5).2下列函数在1，4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2 Dy1x【解析】选A.选项B，C在1，4上均单调递增，选项A，D在1，4上均单调递减，代入端点值，即可求得最大值为3的是y2. 3.函数yx22x1在0，3上的最小值为()A0 B4 C1 D2【解析】选C.因为yx22x1(x1)22，其图象的对称轴为直线x1，所以函数yx22x1在x0，3上单调递增，所以当x0时，此函数取得最小值，最小值为1.
9、4函数yx的最值的情况为()A最小值为，无最大值B最大值为，无最小值C最小值为，最大值为2D最大值为2，无最小值【解析】选A.yx在定义域上是增函数，所以函数最小值为，无最大值【加练备选】函数f(x)=的最大值为() A.1B.2C.D.【解析】选B.当x1时,函数f(x)=为减函数,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.综上可得,f(x)的最大值为2.5(多选)高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，设xR，用符号x表示不超过x的最大整数，如3.143
10、，1.42，则称函数g(x)x为高斯函数，下列关于高斯函数g(x)x的说法正确的有()Ag(3)3B若g(a)g(b)，则|ab|1C函数yg(x)x的值域为(0，1D函数yxg(x)在1，)上单调递增【解析】选ABD.因为x表示不超过x的最大整数，又g(x)x，则g(3)33，故选项A正确；若g(a)g(b)ab，x表示不超过x的最大整数，则1ab1，即1，故选项B正确；函数yg(x)x，则yxx，当x1.1时，y11.10.10，故选项C不正确；yxg(x)xx，函数y为分段函数，满足分段函数单调递增的条件，所以函数yxg(x)在1，)上单调递增，故选项D正确二、填空题(每小题5分，共15
11、分)6函数yx26x9在区间a，b(ab3)上有最大值9，最小值7，则a_，b_【解析】y(x3)218，因为ab3，所以y在区间a，b上单调递增，即b26b99，得b0，a26a97，得a2.答案：207函数yax1在区间1，3上的最大值为4，则a_.【解析】若a0，则函数yax1在区间1，3上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a14，解得a3，不满足a0，则函数yax1在区间1，3上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得a1.综上，a1.答案：18某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销
12、售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为_元【解析】根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为48040(x1)52040x(0x13)(桶)，则y(52040x)x20040x2520x200，0x1，即a1时，f(x)在区间1，)上先减后增，所以f(x)minf()22.当1，即0a1时，f(x)在区间1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)a3.请先阅读下列材料，然后回答问题对于问题“已知函数f(x)，问函数f
13、(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”一个同学给出了如下解答：令u32xx2，则u(x1)24，当x1时，u有最大值，umax4，显然u没有最小值故当x1时，f(x)有最小值，没有最大值(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；(2)试研究函数y的最值情况【解析】(1)不正确没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下：令u32xx2，则u(x1)244，当0u4时，即f(x)；当u0时，0，即f(x)0.所以f(x)0或f(x)，即f(x)既无最大值，也无最小值(2)因为x2x2，所以0y，所以函数y的最大值为(当x时)，而无最小值