1、第二章 推理与证明 本章回顾总结一、归纳推理 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)由相同性质猜想得出一般性结论需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明观察下列等式，你能得到什么结论？224，224；323412，323412；434513，434513；545614，545614；656715，656715.解：第一行的式子可改写为：2124，2124；则得到的一般结论为：n1n n1n21n，n1n(n1)n21n，所以n1n n1n1n(n
2、1)二、类比推理 类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明已知：由图有面积关系：SPABSPAB PAPBPAPB.(1)试用类比的思想写出由图所得的体积关系VP-ABCVP-ABC_.(2)证明你的结论是正确的解：(1)VP-ABCVP-ABC PAPBPCPAPBPC.(2)过 A 作 AO平面 PBC 于 O，连接 PO，则 A在平面PBC 内的射影 O
3、落在 PO 上，从而VP-ABCVP-ABC VA-PBCVA-PBC 13SPBCAO13SPBCAOPBPCAOPBPCAO，AOAOPAPA，VP-ABCVP-ABC PAPBPCPAPBPC.三、演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(nN*)，求证：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)
4、Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，(小前提)故Snn 是以 2 为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)四、直接证明与间接证明1直接证明包括综合法和分析法两种，前一种方式是由因导果法，而后一种方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解
5、过程2间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论，即否定推理否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题)已知(0，)，试用多种方法求证：2sin 2sin 1cos.证明：方法一(分析法)要证明 2sin 2sin 1cos 成立，只要证明 4sin cos sin 1cos .(0，)，sin 0，只要证明 4cos 11cos.上式可变形为 411cos 4(1cos)(0，)，1cos 0.11cos 4(1cos)211cos 41cos 4，当且仅当11cos 4(1cos)，即 cos 12，即 3时取等号411cos
6、 4(1cos)成立不等式 2sin 2sin 1cos 成立方法二(综合法)(0，)，1cos 0.11cos 4(1cos)211cos 41cos 4.当且仅当11cos 4(1cos)，即 cos 12，即 3时取等号4cos 11cos.(0，)，sin 0.4sin cos sin 1cos.2sin 2sin 1cos.方法三(反证法)假设 2sin 2sin 1cos，则 4sin cos sin 1cos.(0，)，sin 0，1cos 0.4cos(1cos)1，即 4cos2 4cos 10(2cos 1)20，显然不成立故假设错误，原不等式成立五、数形结合思想在合情推理
7、中的应用本章关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一般规律，从而作出猜想如图所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为 1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成 135角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第 n层设树形图的第 n 层的最高点到水平线的距离为第 n 层树形图的高度(1)求第三层及第四层树形图的高度 H3、H4；(2)求第 n 层树形图的高度 Hn.解：(1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为an，则 a11，a212 22，a3 122，a4 123 22，所以第三层树形图的高度为 H3a1a2a35 24，第四层树形图的高度为 H4a1a2a3a4205 216.(2)易知an2an 14(nN*)，所以树形图中新生出的第n层高度an 12n11（n为奇数），12n1 22(n为偶数).所以当n为奇数时，第n层树形图的高度为Hn431(14)n+12 23 1(14)n+12；当n为偶数时，第n层树形图的高度为Hn431(14)n2 23 1(14)n2.谢谢观看！