1、课后素养落实(二十四)复数的三角形式*(建议用时：40分钟)一、选择题1下列表示复数1i的三角形式中；，正确的个数是()A1 B2 C3 D4Br，cos ，sin ，辐角主值为，1i，故的表示是正确的，的表示不正确，故选B.2如果，那么复数(1i)(cos isin )的三角形式是()ABcos(2)isin(2)CDA因为1i，cos isin cos(2)isin(2)，所以(1i)(cos isin ).3计算的结果是()A9 B9 C1 D1B999，故选B.4若复数zr(cos isin )(r0，R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角若一个复数
2、z的模为2，辐角为，则()A1i B1i Ci DiD由复数z的模为2，辐角为，可得z21i.所以i.故选D.5适合1且arg z的复数z的个数是()A0 B1 C2 D无穷多答案C二、填空题6复数的代数形式是_i cosisin i.7设z12i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30所得向量对应的复数的虚部为_所得向量对应的复数为(12i)(12i)i，故虚部为.8复数1i的辐角主值是 _，三角形式是_复数1i的模是，因为1i对应的点在第一象限且辐角的正切tan 1，它的辐角主值为.三角形式为.三、解答题9已知z2i，z1z20，arg z2，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|
3、AB|，求z1的立方根解由题设知z1i，因为|AB|，即|z1z2|，所以|z1z2|z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2|，又arg z2，所以z2，z1z2(1i)z22，所以z1的立方根为，k0，1，2，即，.10已知复数z满足z22z40，且arg z.(1)求z的三角形式；(2)记A、B、C分别表示复数z、2在复平面上的对应点已知A、B、C三点成逆时针顺序，且ABC为等边三角形，求tan(arg )解(1)由z22z40，得z(22i)1i.arg z，z1i应舍去，z1i2.(2)由题意，CA：z(2)z2，CB：(2)3，|CA|CB|，A、B、C三点位置成逆时针顺序，又AC
4、B，把CA按逆时针方向旋转60即得CB，3(z2)，将z2代入上式，解得，由点B在第三象限知tan(arg ).11复数ztan i的三角形式是()A(sin icos )B(cos isin )CDD因为，所以cos 0，所以ztan isin i(cos )，故选D.12(多选题)任何一个复数zabi(其中a、bR，i为虚数单位)都可以表示成：zr(cos isin )的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现：znr(cos isin )nrn(cos nisin n)(nN)，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是()A|z2|z|2B当r1，时，z31C
5、当r1，时，iD当r1，时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数AC对于A选项，zr(cos isin )，则z2r2(cos 2isin 2)，可得|z2|r2(cos 2isin 2)|r2，|z|2|r(cos isin )|2r2，A选项正确；对于B选项，当r1，时，z3(cos isin )3cos 3isin 3cos isin 1，B选项错误；对于C选项，当r1，时，zcos isin i，则i，C选项正确；对于D选项，zn(cos isin )ncos nisin ncos isin ，取n4，则n为偶数，则z4cos isin 1不是纯虚数，D选项错误故选AC.13欧拉公式eixc
6、os xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，对ei表示的复数z，则|z|等于_；等于_1i由欧拉公式eixcos xisin x，可得ecos isin i，所以|z|1，i.14复数zcosisin是方程x50的一个根，那么的值等于_. i由题意得，cosisini.15设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为、.若AOB的重心G对应的复数为i，求tan()解由题意可设z1cos isin ，z2cos isin .AOB的重心G对应的复数为i，i，即， tan，故tan() .