1、2.4 等比数列第1课时 等比数列(一)目标定位重点难点1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式，体会它与指数函数的关系3掌握等比中项的定义，能用等比中项的定义解决问题.重点：等比数列的定义、等比数列的通项公式难点：等比数列的通项公式的应用.1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)2等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成_，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G ab.同一常数公比q等比数列3等比数列
2、的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为：an_.a1qn1【答案】C1在等比数列an中，a32，a616，则数列an的公比是()A2 B 2 C2 D4【答案】B2若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为()A3 B4 C5 D63已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7()A64 B81 C128 D243【答案】A【解析】an是等比数列，a1a23，a2a36，设等比数列的公比为q，则a2a3(a1a2)q3q6，q2.a1a2a1a1q3a13，a11.a7a1q62664.4已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则
3、a3a5a7()A21 B42 C63 D84【答案】B【解析】a13，a1a3a521，33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.【例1】在等比数列an中，已知a39，a6243，求a5.等比数列通项公式【解析】由 a39，a6243，得 a1q29，a1q5243.q32439 27，q3.a11.a5a1q413481.【方法规律】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解关于a1和q的求法通常有两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；(2)充分利用各
4、项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算已知等比数列an中，a1a2a37，a1a2a38，求an.【解析】设an的公比为 q，由题意知a1a1qa1q27，a1a1qa1q28，解得a11，q2或a14，q12.an2n1 或 an23n.【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项等比中项的应用【解析】设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，a1a1qa1q2168，a1qa1q442，a11qq2168，a1q1q342.1q3(1q)(1qq2)，上述两式相除，得 q(1q)14q12，a1 42qq4421
5、212496.若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有G2a5a7a1q4a1q6a21q1096212109，a5，a7 的等比中项是3.【方法规律】本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是()A90 B100 C145 D190【答案】B【解析】设公差为 d，由题意得 a22a1a5，a11，(1d)214d，d22d0，d0.d2，S1010110922100.故选 B【例3】已知数列an满足a11，an12an1，bnan1(nN*)(1)求证：bn是
6、等比数列；(2)求an的通项公式等比数列的判定【解题探究】(1)欲证bn是等比数列，需证bn1bn 为常数，又 bnan1，bn1an11，故只需将条件式变换为 an11 与 an1 的关系式即可获证(2)只要求出了bn的通项公式，就可以求出an的通项公式【解析】(1)证明：an12an1，an112(an1)，即 bn12bn.b1a1120，bn0.bn1bn 2，bn是等比数列(2)由(1)知bn是首项 b12，公比为 2 的等比数列，bn22n12n，即 an12n.an2n1.【方法规律】判定数列是等比数列常用的方法：(1)定义法：an1an q(常数)或 anan1q(常数)(n2
7、)an为等比数列；(2)等比中项法：a2n1anan2(an0，nN*)an为等比数列；(3)通项法：ana1qn1(其中 a1，q 为非零常数，nN*)an为等比数列(2019 年辽宁大连双基训练)已知数列an满足an112an13(n1,2,3，)(1)当 an23时，求证an23 是等比数列；(2)当 a176时，求数列an的通项公式【解析】(1)证明：an112an13，即 an12312an23.故当 an23时，数列an23 是以12为公比的等比数列(2)当 a176时，a12312.故数列an23 是首项为12，公比为12的等比数列所以 an2312n，则 an2312n.【分析
8、】求an的通项公式可考虑构造辅助数列的方法构造等比数列的技巧【示例】设数列an满足关系式：an32an15(n2)，a1172.(1)求数列an的通项公式；(2)问数列an从第几项开始大于 0？(lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)由题意，得 an1032(an110)(n2)，数列an10是首项为 a11032，公比为32的等比数列an103232n132n，an32n10.(2)令 an0，即32n10，两边取常用对数，得 nlg321，n(lg 3lg 2)1，即 n1lg 3lg 25.7(nN*)数列an从第 6 项开始大于 0.【方法总结】(1)“an10
9、”中“10”可以用如下方法求得：令 anx32(an1x)，即 an32an1x2，与 an32an15 相比较，得x25，即 x10.这种方法称为“构造等比数列法”，常用来求已知条件形如“an1panq(p1)”的递推关系的通项公式，可以证明an qp1 为等比数列1学习等比数列需要注意：(1)等比数列的定义可简述为an1an q(q 为常数，q0)(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为 0，因此 q 也不能为 0；(2)an1an 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序2等比数列的通项公式可以
10、变形为 ana1q qn，因此等比数列an中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四象限，即这些点在曲线 ya1q qx 上，因此可以利用函数思想求解等比数列的通项公式1已知等比数列an的公比为正数且 a3a92a25，a21，则 a1 等于()A12 B 22 C 2 D2【答案】B【解析】设公比为 q，由 a3a92a25，得 a1q2a1q82(a1q4)2，q22.又 q0，q 2.又 a21，a1q1，a1 22.2设 a12，an12an1，bnan2an1，nN*，则数列bn的通项公式 bn_.【答案】2n1【解析】由题意，得 b1a12a11 4，bn1an12an11 2an122an112an2an1 2bn.因此数列bn是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 bn42n12n1.3在等比数列an中，(1)a5a115，a4a26，求a3；(2)a2a518，a3a69，求an.【解析】(1)a5a115，a4a26，a1q4115，a1q3q6.由得q21q52，即 2q25q20，解得 q2 或 q12.当 q2 时，a11，从而 a34.当 q12时，a116，从而 a34.(2)a2a5a1qa1q418，a3a6a1q2a1q59，得 q12，从而 a132.ana1qn13212n126n.点击进入WORD链接