1、章末综合测评(一)平面向量(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确命题的个数是()单位向量都共线；长度相等的向量都相等；共线的单位向量必相等；与非零向量a共线的单位向量是A3 B2 C1 D0D根据单位向量的定义，可知明显是错误的，对于，与非零向量a共线的单位向量是或，故也是错误的2已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6 C6 D12D2ab(4，2)(1，k)(5，2k)，由a(2ab)0，得(2，1)(5，2k)0，所以102k0，解得k123如
2、图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 B C DD设|x，则|x，()|cosADBx14 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，则()A2 BC3 D2B因为D为BC的中点，所以2所以220，所以，所以5已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A BC DD设c(x，y)，则ca(1x，2y)，ab(3，1)，由已知可得解得即c6一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态已知F1与F2的夹角为60，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为()A6 N B2 N C2 N D2ND由向量的平行四边形法则
3、及力的平衡，得|F3|2|F1F2|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 60224222428，所以|F3|2 N7如图，已知点 C 为OAB边AB上一点，且AC2CB，若存在实数m，n，使得mn，则mn的值为()A B0 C DA，所以mn故选A8已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A(9，1) B(9，1)C(9，1) D(9，1)C设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共
4、20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A2a3b4e且a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数x，y满足xy0)D已知梯形ABCD，其中a，bAB对于A，向量a，b是两个非零向量，2a3b4e且a2b2e，ae，be ，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数，使ab0，要使非零向量a，b是共线向量，由向量共线定理即可证明，故B正确；对于C，xayb0(其中实数x，y满足xy0)如果xy0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知
5、梯形ABCD中，a ，b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选AB10如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有()A2 BC DAB依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F(图略)，则有x(1x)x(1x)，其中0x1，注意到x(1x)1；注意到1231，1，1，1，故选AB11如图所示，四边形ABCD为梯形，其中ABCD，AB2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A BC DABD，A正确；，B正确；，C错误；，D正确故选ABD12 ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足3a，3a
6、b，则下列结论中正确的有()Aa为单位向量 BbCabDABD对于A，3a，a，则1，A正确；对于B，3abb，b，b，B正确；对于C，ab32cos0，所以a与b不垂直，C错误；对于D，220，所以，D正确故选ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知向量a(4，3)，b(6，m)，且ab，则m_8向量a(4，3)，b(6，m)，ab，则ab0，463m0，m814已知点A(2，5)，B(3，2)，则向量_，与向量同向的单位向量为_(本题第一空2分，第二空3分)(1，7)由向量的坐标定义，可知，(32，25)(1，7)|5与向量同向的单位向量为：15
7、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_2法一：()2222222法二：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)(1，2)，(2，2)从而(1，2)(2，2)1(2)22216已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_8ab，2(2)(1)x0，解得x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，解得y4，(yx，xy)(8，8)，|8四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)(1)求证：(ab)(ac)垂直；(2)若ab与c是共线向量，求实数的值解(1)证明：因为a(2，3)，b(2，4)，c(1，1)，所以ab(4，1)，ac(1，4)从而(ab)(ac)41(1)40，且(ab)与(ac)均为非零向量，所以(ab)(ac)垂直(2)因为a(2，3)，b(2，4)，所以ab(22，34)，又c(1，1)，且ab与c是共线向量，所以(22)(1)(34)10，解得18(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2
9、，3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解(1)由题设，知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4)所以|2，|4故所求的两条对角线长分别为4，2(2)由题设，知(2，1)，t(32t，5t)由(t)0，得(32t，5t)(2，1)0，从而5t11，所以t19(本小题满分12分)如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，xy(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值解(1)，即2，即x，y(2)3，33，即43，x，y()224242920(本小题满分12分)设两个向量e1，e2
10、满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0整理得：2te(2t27)e1e27te0(*)|e1|2，|e2|1，e1，e260e1e221cos 601(*)式化简得：2t215t70解得7t当向量2te17e2与e1te2夹角为180时，设2te17e2(e1te2)(0)对比系数得，所求实数t的取值范围是21(本小题满分12分)在ABC中，已知A(2，4)，B(1，2)，C(4，3)，ADBC于点D(1)求点D的坐标；(2)求
11、证：AD2BDDC解(1)设D点坐标为(x，y)，则(x2，y4)，(5，5)，(x1，y2)因为ADBC，所以0，即5(x2)5(y4)0所以xy6又因为B，D，C三点共线，所以，所以5(x1)5(y2)0，所以xy1联立，解得所以点D的坐标为(2)证明：因为，所以|2，|，|，从而|故|2|，即AD2BDDC22(本小题满分12分)已知A(1，0)，B(0，2)，C(3，1)，5，210(1)求D点坐标；(2)若D点在第二象限，用，表示；(3)若(m，2)，3与垂直，求的坐标解(1)设D(x，y)，(1，2)，(x1，y)由题得即或D点坐标为(2，3)或(2，1)(2)D点在第二象限，由(1)知D(2，3)(1，3)(2，1)，设mn，则(2，1)m(1，2)n(1，3)，(3)33(1，2)(2，1)(1，7)，(m，2)，(3)0，m140，m14(14，2)
