1、第一章综合素质能力测试一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1在ABC中，若AB1，BC1，AC，则B等于()A30B45C60 D1202在ABC中，A45，AC4，AB，那么cosB()A. BC. D3在ABC中，a2，b2，B45，则A等于()A30 B60C60或120 D30或1504等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是()A30或150 B15或75C30 D155从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为()A BC90 D1806(2012天津理，6)在ABC中，内角A，B，C所对的
2、边分别是a，b，c，已知8b5c，C2B，则cosC()A. B C D.7在ABC中，a2，c1，则角C的取值范围是()A(0，) B(，)C(，) D(0，8已知钝角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是()A1x5B.xC1x或x5D1x9关于x的方程x2xcosAcosBcos20有一个根为1，则此三角形为()A等腰三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形10在ABC中，C90，A75，CDAB，垂足D，则()A. B.C. D.11ABC三边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是()A1:1 B1:2C1:4 D4:312(2011山东苍山县高二
3、期中)如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20()海里/小时B20()海里/小时C20()海里/小时D20()海里/小时二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13三角形一边长14，它对的角为60，另两边之比为85，则此三角形面积为_14在ABC中，a50，B30，C120，那么BC边上的高的长度是_15在锐角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是_16等腰ABC顶角的余弦为，则底角的正弦值为_三、解答题(本大题共6个小题
4、，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)在ABC中，已知a，A60，bc1，求b，c和B，C.18(本题满分12分)(2012浙江文，18)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB.(1)求角B的大小；(2)若b3，sinC2sinA，求a，c的值19(本题满分12分)生活中，我们可以见到很多三角形结构的物体，而我们自己有时也制作那样的物体如果现在有一足够长的木杆子，用它来制作一个三角形物体，要求三角形物体的三边为连续正整数，最大角是钝角，那么该如何去截木杆？20(本题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，
5、4sin2cos2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b与c的值21(本题满分12分)(20102011湖南邵阳二中期中)在ABC中，BAC120，AB3，BC7，求(1)AC的长(2)ABC的面积22(本题满分14分)在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c且，(1)求sinB.(2)若b4，ac，求ABC的面积详解答案1答案C解析cosB，B60.2答案D解析BC2AC2AB22ACABcosA1628cos4510，BC，cosB.3答案C解析，sinA，A60或120.asinBba，故有两解4答案A解析由题意：sinBcosB.两边平方得sin2B，设顶角为A，则A180
6、2B.sinAsin(1802B)sin2B，A30或150.5答案B解析仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故.6答案A解析由及8b5c，c2B得，5csin2B8csinB，cosB，cosCcos2B2cos2B1.7答案D解析acbac，1b3，由余弦定理c2a2b22abcosC，14b24bcosC，cosC(b)，(b)在(1，上单调递减，在，3)上单调递增，cosC()，00，且当CA与B相切时，角C最大，0C.8答案C解析当x为最大边时，x5；当3为最大边时，1x.x的取值范围是：1x或x3，当3为最大边时，必有x3，这与三角形为锐角三角形的讨论是有区别的9答案A解析由题设，1
7、cosAcosBcos20.sin2cosAcosB，cosAcosB.1cos(AB)2cosAcosB，cos(AB)1，A，B是三角形内角，AB0即AB.10答案C解析如图，C90，A75，B15，cot75，cot15，cot75cot15，cot75cot15tan15tan75tan(4530)tan(4530)(2)(2)4，.点评因为ABC是直角三角形，又CDAB，因此应充分利用直角三角形的边角关系以简化运算在RtACD中，sin75，CDACsin75，在RtABC中，cos75，AB，sin75cos75sin150sin30.11答案B解析不妨设a，b，c长分别为3,4,
8、6，较大锐角为AC边对的角B.由平几知识知，BD分对边AC的比.点评审题时要注意细节本题改为求“它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比”，则答案为D.12答案B解析由题意可知SMN153045，MS20，MNS45(9030)105，设货轮每小时航行x海里，则MNx，MSN1801054530，由正弦定理得，sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45，x20()，故选B.13答案40解析设另两边长为8x和5x，则cos60，x2，另两边长为16和10，此三角形面积S1610sin6040.14答案25解析A30，AB50.BC边上的高ADAB25.15答案(2，
9、)解析c是锐角ABC的最大边，2c.16答案解析设顶角为，底角为，则cos，sinsin()cos.17解析由余弦定理得，6b2c22bccos60，b2c2bc6由bc1平方得：b2c22bc42、两式相减得bc22.由，解得 ，由正弦定理sinB.b2，B为锐角，B75，C45.点评求角B时，若先求得sinC，ac，C45，从而得B75.若用余弦定理cosB，B75.18解析(1)由bsinAacosB及正弦定理，得sinBcosB，所以tanB，所以B.(2)由sinC2sinA及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accosB，得9a2c2ac. 所以a，c2.点评本题主要考查正
10、、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力19解析设三角形的三边长为an1，bn，cn1，nN*且n1，C是钝角，cosC0，1n4，nN*，n2或3，当n2时，a1，b2，c3，不能构成三角形；当n3时，a2，b3，c4，能构成三角形；把该木杆截下长度分别为2,3,4的三段，然后三段首尾顺次连接即可20解析(1)由条件得21cos(BC)2cos2A1.4(1cosA)4cos2A5，(2cosA1)20，cosA，0A180，A60.(2)由余弦定理得，化简并整理得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.联立bc3与bc2，解得b1，c2或b2，c1.21解析(1)由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosBAC，499AC23AC，解之得AC5(AC8舍去)(2)ABC的面积SABACsinBAC35sin120.22解析(1)在ABC中，由正弦定理可得，又，即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，sin(BC)3sinAcosB，又BCA，sin(BC)sinA，sinA3sinAcosB，sinA0，cosB，又0B，sinB.(2)在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB将b4，cosB代入得，a2c2ac32，又ac，故a232，故a224，cosA，ABC的高hcsinA4，ABC的面积为Sbh8.