1、3指 数 函 数第1课时指数函数的图象和性质水平11.y2x在R上是减函数()2指数函数yax(a0，且a1)是增函数()3指数函数yax(a0，且a1)过定点(0，1).()4y2x1的定义域是0，).()5指数函数的图象都在x轴上方()【解析】1.2提示：.指数函数的底数大于1是增函数；底数大于0且小于1是减函数3.4提示：.y2x1的定义域是R.5.题组一指数函数的概念1下列函数中是指数函数的是()Ay2()x ByxxCy3 Dy()x【解析】选D.由指数函数定义可知，函数y()x是指数函数2函数f(x)(2a3)ax是指数函数，则f(1)()A8 B C4 D2【解析】选D.函数f(
2、x)(2a3)ax是指数函数，所以2a31，解得a2.所以f(x)2x，所以f(1)2.3若y(a23a3)ax是指数函数，则有()Aa1或2 Ba1Ca2 Da0且a1【解析】选C.由题意，得，解得a2.题组二指数函数的图象1y的图象可能是()【解析】选C.底数为，函数单调递减，图象在x轴上方且过点(0，1).2函数y5x与y5x的图象关于_对称()Ax轴 By轴C原点 D直线yx【解析】选B.底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称3函数f(x)ax12(a0，且a1)的图象恒过的点为()A(1，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)【解析】选A.令x10.则x1，f(1)1，所
3、以函数f(x)的图象恒过的点为(1，1).题组三指数函数的单调性1若指数函数y(13a)x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为()A B(1，)CR D(，0)【解析】选D.因为指数函数y(13a)x在R上为单调递增函数，所以13a1，所以a0.2若指数函数y(a2)x在(，)上是减函数，那么()A2a3 B2a1Ca3 D0a1【解析】选A.因为指数函数y(a2)x在(，)上是减函数，所以0a21，解得2a3.3函数f(x)在区间2，2上的最小值是()A B C4 D4【解析】选B.因为函数f(x)在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间2，2上的最小值为f(2).题组四比较指数幂的大
4、小1已知a20.3，b23，c21，那么a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcab Dcba【解析】选B.因为函数y2x在R上单调递增，30.31，a20.3，b23，c21，所以bac.2已知a0.30.3，b0.31.3，c1.30.3，则它们的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc【解析】选A.a0.30.3，b0.31.3，c1.30.3，因为y0.3x为减函数，所以0.30.30.31.3，因为yx0.3为增函数，所以0.30.31.30.3，故cab.3下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.7
5、0.30.93.1【解析】选B.对于指数函数yax，当a1时，函数为增函数，故A错误，当0a1时，函数为减函数，故B正确，由于0.80.11.250.1，对于指数函数yax，当a1时，函数为增函数，故C错误，由于1.70.31，0.93.11，故D错误题组五简单的指数方程和不等式1方程92x13的解为()Ax Bx1 Cx Dx2【解析】选A.由92x13，即32(2x1)3，所以4x2，所以x.2不等式322x的解集是_【解析】因为322x，所以3，因为y在R上单调递减，所以x232x，解得：x3或x1，所以不等式322x的解集是x|x3或x1答案：x|x3或x13求满足16的x的取值集合是
6、_【解析】因为16，所以，根据函数y的单调性可知，x32，故x1.答案：(，1)4函数y的定义域为_【解析】依题意得，2x80，所以2x823，又y2x为增函数，所以x3.所以函数y的定义域为x|x3答案：3，)易错点一混淆yax与yax的底数函数y3x的图象是()【解析】选B.y3x，故选项B中的图象符合题意【易错误区】yax的底数是a，而yax的底数是，而ya3x(a3)x的底数是a3，先把函数化成指数函数的标准形式，再去找底数易错点二比较指数幂大小时忽略底数已知aman(a0)，则m，n的大小关系为()AmnBm1时，mn；0a1时，m1时，单调递增，所以mn；0a1时，单调递减，所以m
7、n.【易错误区】比较同底数幂的大小时，先看底数是大于1还是大于0且小于1.底数大于1指数越大幂值越大，底数大于0且小于1指数越大幂值越小不知道底数大小时要进行分类讨论水平1、2限时30分钟分值60分战报得分_一、选择题(每小题5分，共30分)1指数函数yax与ybx的图象如图所示，则()Aa0 B0a1，0b1C0a1 Da1，0b1【解析】选C.yax是减函数，则0a1.2已知函数y的图象与指数函数yax的图象关于y轴对称，则实数a的值是()A1 B2 C4 D8【解析】选C.因为函数y的图象与指数函数yax的图象关于y轴对称，所以a1，所以a4.经检验，a4符合题意3(金榜原创题)函数ya
8、x2 0212 020(a0且a1)的图象必经过点()A(2 021，2 021) B(2 020，2 020)C(2 020，2 021) D(2 021，2 020)【解析】选A.对于函数yax2 0212 020(a0且a1)，令x2 0210，求得x2 021，f(2 021)2 021，可得它的图象必经过点(2 021，2 021).【变式备选】1.函数f(x)=a2x+2-1恒过定点()A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(-1,-1)【解析】选C.令2x+2=0,求得x=-1,且f(-1)=0,故函数f(x)=a2x+2-1恒过定点(-1,0).2.已知幂函数f(x
9、)=xa的图象经过函数g(x)=mx-2-(m0且m1)的图象所过的定点,则f的值等于()A.1B.3C.6D.9【解析】选B.函数g(x)=mx-2-(m0且m1),令x-2=0,解得x=2;此时g(2)=,所以g(x)的图象过定点,所以2a=,解得a=-1;所以f(x)=x-1,所以f=3.4函数y的定义域是()A(，0) B(，0C0，) D(0，)【解析】选C.由2x10，得2x20，所以x0.5已知集合Ax|1x2，关于x的不等式2a2ax的解集为B，若ABA，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C(1，) D1，)【解析】选A.由2a2ax，得aax，则x2a，所以集合Bx
10、|x2a，因为集合Ax|1x2，ABA，所以2a2，解得a1，则实数a的取值范围是(，1.6(多选)对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，当f(x)2x时，下列结论中正确的是()Af(x1x2)f(x1)f(x2)Bf(x1x2)f(x1)f(x2)C(x1x2)f(x1)f(x2)0Df【解析】选ACD.f(x)2xf(x1x2)2(x1x2)，f(x1)f(x2)2x12x22(x1x2)，故A对；f(x1x2)2(x1x2)2x12x2f(x1)f(x2)，故B错；因为f(x)2x为减函数，所以当x1x2时，有f(x1)f(x2)，有(x1x2)f(x1)f(x2)0，同
11、理当x1x2时，此式也成立，故C对，f，由基本不等式，所以f，故D对二、填空题(每小题5分，共20分)7(2021宝鸡高一检测)函数f(x)的值域为(0，)，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f(x)可以为_(写出符合条件的一个函数即可)【解析】因为函数f(x)的值域为(0，)，且在定义域R内单调递减，所以函数f(x)是符合要求的一个函数答案：f(x)(答案不唯一)8已知a0.32，b0.30.2，c1，a，b，c的大小关系是_(用“”连接).【解析】因为函数y0.3x在R上是减函数，0.20.32，且b0.30.20.301，c1，所以a，b，c的大小关系是cba.答案：cba9若函数f
12、(x)ax(a0，a1)在区间1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)x在R上是单调增函数，则a_【解析】若函数g(x)(14m)x在R上是单调增函数，则14m0，则m.若a1，因为函数f(x)ax在区间1，2上的最大值为4，最小值为m，所以a24，ma1.解得a2，m，不满足m.若0a1，因为函数f(x)ax在区间1，2上的最大值为4，最小值为m，所以a14，ma2，解得a，m，满足m.所以a.答案：10若函数f(x)(2a1)x32，则yf(x)的图象恒过定点_，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是_【解析】对于函数f(x)(2a1)x32，令x30，求得x3，
13、f(x)1，可得yf(x)的图象恒过定点(3，1).再根据函数f(x)(2a1)x32在R上是减函数，故有02a11，求得a1.答案：(3，1)【变式备选】若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为()A.aB.a1D.a1【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,所以2a-11,解得a1.三、解答题11(10分)已知函数f(x)ax1(a0，且a1).(1)若函数f(x)的图象过点(3，4)，求实数a的值；(2)求关于x的不等式f(x)a3的解集【解析】(1)函数f(x)的图象过点(3，4)，则a24，因为a0，且a1，则a2.(2)由f(x)a3可得ax1a3，当0a
14、1时，x13，解得x4，即不等式的解集为(，4)；当a1时，x13，解得x4，即不等式的解集为(4，).已知函数f(x)ax(a0，且a1)，在区间1，2上的最大值为m，最小值为n.(1)若mn6，求实数a的值；(2)若m2n，求实数a的值【解析】(1)因为无论0a1，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，所以a2a6，解得a2或a3(舍)，故a的值为2.(2)当0a1时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，其最小值为f(1)a，最大值为f(2)a2.由a22a，解得a0(舍)或a2.所以a2.综上知，实数a的值为或2.【变式备选】已知函数f(x)=ax+1(a1)在区间
15、0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a的值;(2)证明:函数F(x)=f(x)-f(-x)是R上的增函数.【解题思路】(1)根据a1得到f(x)是单调增函数,则最大值与最小值之差即可用方程表示,解出a即可;(2)利用定义法证明即可.【解析】(1)因为a1,所以f(x)=ax+1在定义域上单调递增,则f(x)在区间0,2上的最大值与最小值之差为f(2)-f(0)=3,即a2-1=3,解得a=2;(2)F(x)=f(x)-f(-x)=2x-2-x,不妨设x1x2,则F(x1)-F(x2)=-+=(-).因为x1x2,所以-0,所以F(x1)-F(x2)0,即有F(x1)F(x2),所以F(x)=f(x)-f(-x)在R上是增函数.