1、第三章3.23.2.2A组素养自测一、选择题1下列说法正确的是(B)A偶函数的图象一定与y轴相交B奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0C奇函数yf(x)的图象一定过原点D图象过原点的奇函数必是单调函数解析A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B2(2021河北邢台八中高一检测)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)(A)A2B0C1 D2解析f(1)f(1)2故选A3若yf(x)(xR)是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数yf(x)的图象上的是(C)A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f
2、(a) D(a，f(a)解析yf(x)是奇函数，f(a)f(a)，(a，f(a)在yf(x)图象上4下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)解析选项A中定义域为1,1，函数解析式为y0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A5如果奇函数f(x)在区间7，3上单调递减且最大值为5，那么f(x)在区间3,7上(C)A单调递增且最小值为5B单调递增且最大值为5C单调递减且最小值为5D单调递减且最大值为5解析f(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与在7，3上一致，且f(7)为最小值故选C6已知定义在R上的
3、奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2|x|1，则当x0时，f(x)的解析式为f(x)(D)Ax2|x|1 Bx2|x|1Cx2|x|1 Dx2|x|1解析若x0，则x0，f(x)x2|x|1，f(x)f(x)，f(x)x2|x|1，f(x)x2|x|1二、填空题7若函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是_(，0_解析函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数，则函数f(x)的图象关于y轴对称，所以m10，即m1，所以f(x)x22，所以函数f(x)的单调递增区间是(，08设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_5_解析
4、由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)59若f(x)为偶函数，则f(1)f_0_解析因为f(x)为偶函数，所以ff(1)f(1)，故f(1)f0三、解答题10已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，求f(x)，g(x)的表达式解析f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)g(x)x2x2又f(x)g(x)x2x2，两式联立得：f(x)x22，g(x)x11已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2若当x1,3时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求mn的值解析当x0时，f(x)x23x2，且f(x
5、)是奇函数，当x0时，x0，则f(x)x23x2故当x0时，f(x)f(x)3xx22当x时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数因此当x1,3时，f(x)maxf，f(x)minf(3)2m，n2，从而mnB组素养提升一、选择题1(2021全国高考乙卷理科)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是(B)Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)1解析由题意可得f(x)1，对于A，f(x1)12不是奇函数；对于B，f(x1)1是奇函数；对于C，f(x1)12，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x1)1，定义域不关于原点对称，不是奇函数故选B2(2021河南开封
6、高一检测)设f(x)为偶函数，且在区间(，0)上单调递增，f(2)0，则xf(x)0的解集为(C)A(1,0)(2，) B(，2)(0,2)C(2,0)(2，) D(2,0)(0,2)解析偶函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(2)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)f(2)0作出示意图，如图所示，由xf(x)0得或所以2x0或x2故选C3(多选题)(2021山东枣庄高一联考)关于函数f(x)，下列结论正确的是(AC)Af(x)的图象过原点Bf(x)是奇函数Cf(x)在区间(1，)上单调递减Df(x)是定义域上的增函数解析函数f(x)1，f(0)0，A对；图象关于(1,1)点
7、对称，B错；f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，整个定义域上不是减函数，故C对，D错4(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(BD)A|f(x)g(x)|是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数D |f(x)|g(x)是偶函数解析A中，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，B中函数是奇函数，B正确；C中
8、，由f(x)是奇函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是偶函数可得g(x)g(x)，由f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|知C错误；D中，由|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，知D正确，故选BD二、填空题5偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_3_解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)36已知f(x)(k2)x2(k3)x3是偶函数，则f(x)的递减区间为_(，0_解析由偶函数的定义知k3，所以f(x)x23，其图象开口向上，所以f(x)的递减区间是(，07已知函数f(x)是R上的
9、奇函数，且在R上是减函数，若f(a1)f(1)0，则实数a的取值范围是_(，0)_解析f(a1)f(1)0，f(a1)f(1)f(x)是奇函数，f(1)f(1)f(a1)f(1)又f(x)在R上是减函数，a11，即a0三、解答题8判断函数f(x)的奇偶性解析本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，并且当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0)；当x0时，x0，f(x)x(1x)f(x)(x0)综上可得，f(x)为奇函数9已知偶函数f(x)的定义域是x|x0，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，f(2)1(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)解不等式f(2x1)2解析(1)证明：设x2x10，则f(x2)f(x1)ff(x1)f(x1)ff(x1)fx2x10，1f0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(2)f(2)1，f(4)f(2)f(2)2f(x)是偶函数，不等式f(2x1)2可化为f(|2x1|)f(4)又函数在(0，)上是增函数，|2x1|4，且2x10，解得x，且x，不等式解集为- 5 -