1、2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式2探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.重点：等差数列的性质难点：等差数列性质的应用.1等差数列an的一些简单性质(1)对于任意正整数n，m都有anam_.(2)对任意正整数p，q，r，s，若pqrs，则apaq_aras.特别地对任意正整数p，q，r，若pq2r，则apaq_.(3)对于任意非零常数b，若数列an成等差数列，公差为d，则ban也成等差数列且公差为_(nm)d2arbd(4)若an与bn都是等差数列，cnanbn，dnanbn，则cn，dn都是_(5)等差数列an的等间
2、隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列如a1，a4，a7，a3n2，成等差数列2等差数列的单调性等差数列an的公差为d，则当d0时，等差数列an是常数列；当d0时，等差数列an是单调递减数列；当d0时，等差数列an是单调递增数列等差数列1已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()AbnanBbna2nCbn anDbn 1an【答案】A【解析】数列an是等差数列，an1and(常数)对于 A，bn1bnanan1d，正确；对于 B，若数列ann，则 bna2nn2，显然不是等差数列；对于 C，D，an及 1an不一定有意义故选 A2在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A
3、12 B16 C20 D24【答案】B【解析】因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.3已知数列an中，a510，a1231，则其公差d_.【答案】3【解析】da12a5125 311073.4在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10的值为_【答案】30【解析】a2a142a8，a22a8a144a8120，a830.2a9a10(a8a10)a10a830.【例1】在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1 B0 C1 D6【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用【答案】B利用等差数列的通项公式或性质解题【解析】方法一：设公差为d，a4a22d，即
4、242d，d1，a6a24d0.方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4a2a6，即a62a4a20.【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若pqrs，则apaqaras.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的在等差数列an中，若a1a2a332，a11a12a13118，则a4a10()A45B50C75D60【答案】B【解析】a1a2a33a232，a11a12a133a12118，3(a2a12)150，即a2a1250.a4a10a2a1250.故选B【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前
5、两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键灵活设元求解等差数列【解析】(1)设这三个数依次为 ad，a，ad，则adaad9，ada6ad，解得a3，d1.这三个数为 4,3,2.(2)设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)，依题意，2a2 且(a3d)(a3d)8，解得 a1，d1 或 d1.又四个数成递增等差数列，d0，d1.故所求的四个数为2,0,2,4.【方法规律】常见设元技巧：(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设
6、这两个数为ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列【解析】设这四个数依次为 a3d，ad，ad，a3d.由题设知a3dadada3d26，adad40，解得a132，d32或a132，d32.这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发
7、新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量等差数列的实际应用【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列
8、方法解决(2019 年陕西西安模拟)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这个问题的答案为()A53 B103 C56 D116【答案】A【解析】设五个人分得的面包为 a2d，ad，a，ad，a2d(d0)，则(a2d)(ad)aada2d5a100，a20.由17(aada2d)a2dad，得 3a3d7(2a3d)，24d11a.d556.最小的一份为 a2d20255653.故选 A【示例】已知等差数列an的首项为a1，公差为d且a1126
9、，a5154，则该数列从第几项开始为正数？忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错【错解】a51a1140d，d5426402.ana11(n11)d262(n11)2n48.由 an0，得 2n480，n24.即从第 24 项开始，各项为正数【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n24时，a240.【正解】a51a1140d，d5426402.ana11(n11)d262(n11)2n48.由 an0，得 2n480，n24.显然当 n25 时，an0.即从第 25 项开始，各项为正数1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示2若mn
10、pq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.1等差数列an中，a6a916，a41，则a11()A64 B30 C31 D15【答案】D【解析】69411，a4a11a6a916，a1115.2如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14 B21 C28 D35【答案】C【解析】a3a4a53a412，a44.a1a2a77a428.3已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010Ba2a1000Ca3a1000Da510【答案】D【解析】由题设a1a2a3a101101a510，a510.4在等差数列an中，若 a222a2a8a6a1016，则 a4a6_.【答案】4【解析】等差数列an中，a222a2a8a6a1016，a22a2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64.故答案为 4.点击进入WORD链接