1、奇偶性A级基础过关练1下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()ABCD【答案】B【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数故选B2函数f(x)x的图象()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称【答案】C【解析】因为f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称3(2020年贺州高一期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(3)2，则f(3)()A1B2C3D2【答
2、案】D【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(3)f(3)2.故选D4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数【答案】A【解析】由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数，可得g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，f(x)|g(x)|为偶函数5(2021年义乌高一期末)定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)f() Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4) Df(4)f
3、()f(3)【答案】C【解析】因为f(x)在R上是偶函数，所以f()f()，f(4)f(4)而34，且f(x)在(0，)上是增函数，所以f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(3)B级能力提升练10已知函数f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D26【答案】B【解析】设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13.又g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)813821.11(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xx2，则下列说法正确的是()Af(x
4、)的最大值为 Bf(x)在(1,0)上是增函数Cf(x)0的解集为(1,1) Df(x)2x0的解集为0,3【答案】AD【解析】由题意，易得f(x)画出f(x)的图象(图略)易知当x时，f(x)取得最大值为，A正确；f(x)在上递增，在上递减，B错误；f(x)0的解集为(1,0)(0,1)，C错误；f(x)2x当x0，由3xx20，得0x3，当x0时，由xx20，得0x1，无解，所以f(x)2x0的解集为0,3，D正确故选AD12(2020年赣州高一期中)偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(0)1，f(1)0，则满足1f(x2)0的x取值范围是()A2,2B1,1C0,4D1,3【答案】D
5、【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，因为在0，)上单调递增，所以要求满足1f(x2)0的x取值范围，只需使x21,1，解得x1,3故选D13设奇函数f(x)的定义域为6,6，当x0,6时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)0的解集用区间表示为_【答案】6，3)(0,3)【解析】由f(x)在0,6上的图象知，满足f(x)0的不等式的解集为(0,3)又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在6，0)上，不等式f(x)0的解集为6，3)综上可知，不等式f(x)0的解集为6，3)(0,3)14若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是
6、_【答案】f(2)f(1)f(0)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，所以m0，即f(x)x22.因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，所以f(2)f(1)f(0)又因为f(x)x22为偶函数，所以f(2)f(2)所以f(2)f(1)f(0)15设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明：f(x)在区间(0，)上单调递增(1)解：当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)所以f(x)f(x)(x24x)
7、x24x(x0)所以f(x)(2)证明：设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14)因为0x10，x2x140.所以f(x2)f(x1)0.所以f(x1)f(x2)所以f(x)是(0，)上单调递增C级探究创新练16已知函数f(x)的定义域是x|x0，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上单调递减；(3)解不等式f(x21)2.(1)证明：由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f
8、(x2)，当x11，x21，得f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0；当x11，x21，得f(1)f(1)f(1)0，解得f(1)0.令x11，x2x，得f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)所以f(x)是偶函数(2)证明：设x1，x2是(0，)上任意两个变量，且x1x2，设x2tx1(t1)，则f(x1)f(x2)f(x1)f(tx1)f(x1)f(x1)f(t)f(t)因为当x1时，f(x)0，所以f(t)0，即f(x1)f(x2)f(t)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，)上单调递减(3)解：因为f(2)1，令x12，x2，则ff(2)ff(1)0，即ff(2)(1)1.所以ffff2f212.故不等式f(x21)2等价为不等式f(x21)f.因为f(x)在(0，)上单调递减且f(x)是偶函数，所以x21或x21，即x2或x2，即x或x或x.故不等式的解集为.