1、2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与通项公式目标定位重点难点1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列2掌握等差数列的通项公式及变形公式.重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列难点：等差数列通项公式的应用.1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么_叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是_同一个公差dAAab23等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的
2、通项公式为an_.特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量(2)等差数列的通项公式可推广为anam(nm)d(nm，m，nN*)由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项a1(n1)d1已知数列3,9,15，3(2n1)，那么81是它的()A第12项B第13项C第14项D第15项【答案】C2若数列an的通项公式为ann5，则此数列是()A公差为1的等差数列B公差为5的等差数列C首项为5的等差数列D公差为n的等差数列【答案】A3等差数列1，1，3，5，89，它的项数是()A92 B47 C46 D45【答案】C4 在 等
3、 差 数 列 an 中，a1 a5 8，a4 7，则 a5 _.【答案】10【例1】判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.【解 析】(1)an 1 an 3(n 1)2 (3n 2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列等差数列的定义及判定【方法规律】定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数
4、式时，数列an不是等差数列已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，bn3an4，问：数列bn是否为等差数列？并说明理由【解析】数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义，数列bn是等差数列【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解等差数列的通项公式【例 2】已知数列an为等差数列且 a354，a774，求a15 的值【解析】由 a7a3(73)d，即74544d，解得 d34.a15a3(153)d541234 314.【特别提醒】解决等差数列通项公
5、式问题的方法：(1)应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的思想一般地，可由 ama，anb，得a1m1da，a1n1db，求出 a1 和 d，从而确定通项公式；(2)若已知等差数列中的任意两项 am，an，求通项公式或其他项时，运用 aman(mn)d 则较为简捷设等差数列an的公差为 d，且 a1a235，2a4a67，则 d()A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】等差数列an的公差为 d，且 a1a235,2a4a67，a1a1d35，2a13da15d7，解得 a15，d2.故选 C【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明等差数列的证明【例 3
6、】已知1a，1b，1c成等差数列，求证：bca，cab，abc 也成等差数列【解析】1a，1b，1c成等差数列，2b1a1c，则 b(ac)2ac.bca abc bccabaacbaca2c2ac2aca2c212bac2acb，即bca，cab，abc 也成等差数列【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法，即证an1an常数；(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2anan1an1(n2)若 1bc，1ac，1ab成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列【证明】由已知得 1bc 1ab 2ac，即 2bacbcab 2ca，即(2bac)(ca)2(bc)(ab
7、)，a2c22b2，a2，b2，c2 成等差数列构造法解题【示例】数列an的各项的倒数组成一个等差数列，若 a3 21，a5 21，求 a11.【分析】1an 成等差数列，设其公差为 d，首项为 1a1，然后由通项公式求得 d 和 1a1，代入通项公式可求 a11.【解析】设 bn 1an，bn的公差为 d.由已知得 b3 1a3121 21，b5 1a5121 21.b12d 21，b14d 21，解得b13 2，d1.b11b110d 27.a11 1b111277 247.【方法总结】1.在解题过程中要注意到 1an1 1an1，即an1 an1an，此类递推公式的数列可转化为等差数列，
8、进而求出数列的通项公式2在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，使新数列成等差数列，从而使原问题获得解决1对于等差数列定义的理解要注意：(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”；(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即danan1，d可以为零，当d0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列；(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an1and(常数)(nN*)an是等差数列2在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a
9、nan1an1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2ananmanm(m，nN*，mn)1在等差数列an中，a3a7a101，a11a421，则a7()A7 B10 C20 D30【答案】C【解析】设等差数列an的公差为d，a3a7a101，a11a421，a1d1,7d21，解得d3，a12.则a726320.故选C2如果三个数2a,3，a6成等差数列，则a的值为()A1 B1 C3 D4【答案】D【解析】三个数2a,3，a6成等差数列，2aa66，解得a4.故选D3若an是公差为1的等差数列，则a2n 12a2n是()A公差为3的等差数列 B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列 D公差为9的等差数列【答案】C【解析】令bna2n12a2n，则bn1a2n12a2n2，bn1bna2n12a2n2(a2n12a2n)(a2n1a2n1)2(a2n2a2n)2d4d6d616.故选C4(2019年贵州遵义期末)已知在数列an中，a11，an1anan1an，则数列通项an_.【答案】1n【解析】an1anan1an，1an1 1an1.1an 是以1 为首项，1 为公差的等差数列 1an1(n1)(1)n，an1n.点击进入WORD链接