1、云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算【详解】由已知，故选：C【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质2. 若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()A. a2b2B. C. lg(ab)0D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立
2、的3. 已知.若与 共线，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与 共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与 共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式5. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路
3、程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能
4、力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知ABC中，AB20，BAC30，ABC105，所以C45，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 即时，恒成立，所以符合题意；当即时， 因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴
5、没交点，所以 ，解得 综上所述，所以选C 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用9. 已知函数，下面结论错误的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确【详解】对于函数，它的周期等于，故正确令，则，则是的对称轴，故正确由于，故函数是偶函数，故D正确利用排除法可得B错误；故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，
6、复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题10. 若函数最大值是8，则（ ）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，由此利用裂项求和法能求出【详解】解：由，可得，解得，则.，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，
7、属于中档题12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数 在上是减函数 ，即对于恒成立 在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、
8、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，则向量在方向上的投影为_【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，所以，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大【详解】因为等差数列中，所以，Sn达到最大值时对应的项数n的值为6故答案为：6【点睛】本
9、题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2xlg 8yxlg23ylg 2lg 2，x3y1，(x3y)24，当且仅当x，y时取等号16. 设，则_.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤其中第17题10分，第18-22题12分17. 已知是等差数列，是等比数列，且，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差
10、为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式； （2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为（2）由题意知，则数列的前项和为【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18. 设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到
11、函数的图象，求在上的最小值.【答案】() .() .【解析】试题分析：（）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（）由（）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（）因为，所以由题设知，所以，.故，又，所以.（）由（）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，.（1）若，求实数的值；（2）若.
12、求向量和夹角的余弦值；当时，求实数的值【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）利用向量夹角公式可得，利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且. 令，即， 又，不共线，所以，所以.（2）设与夹角为， 又， 又，. .【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，存在实数使夹角公式：. 向量垂直：.20. 在中，分别是，所对的边，且（1）求角的大小；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，
13、然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,数列满足，.(1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（
14、1），当时，.当时，.时，满足上式，.又，解得：.故，.（2），由-得：，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，令整理得，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.
