1、2020-2021学年度第一学期期中学业水平检测高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若函数的定义域为集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.2. 下列函数中与函数是同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐一判断四个选项中函数定义域与对应法则是否与一致，进而得出答案.【详解】函数定义域为对于A项，的定义域为，对应法则与一致，则A正确；对于B项
2、，的对应法则与不一致，则B错误；对于C项，的定义域为，则C错误；对于D项，的定义域为，则D错误；故选：A3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质和指数函数、幂函数的单调性即可判断.【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：C.4. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累
3、计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（ ）(参考数据：)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.5. 若关于的方程有两个正根，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得，解不等式组即可得答案.【详解】解：根据题意得： ，解不等式组得.故的最小值为.故选：B.6. 若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数在上单调递增，则每一段都是增函数，且的右侧函数值不小于左侧函数值求解.【详解】因为函数是上的单调递增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是故选：C7. 已知，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性可得出、的大小关系.【详解】因为函数在上为增函数，则，指数函数为上的减函数，则.因此，.故选：C.8. 已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，得到，把不等式转化为，结合由函数的单调性，即可求解.
5、【详解】由题意，函数是奇函数，且，可得，又由函数在上单调递减，且，即，所以，解得，即满足的的取值区间是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题B. “”是“”的充要条件C. 命题“”的否定是“”D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是【答案】CD【解析】【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项【详解】是无理数，是有理数，A错；时，但，不是充要条件，B错；命题的否定
6、是：，C正确；“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得解得D正确故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确10. “双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过元但不超过100元，可以使用一张5元优惠劵；（3）如果购物总额超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；（4）如果购物总额超过元，其中元内的按第（3）条给予优惠，超过元的部分
7、给予折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）A. 如果购物总额为78元，则应付款为73元B. 如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C. 如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D. 如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元【答案】ABD【解析】【分析】根据优惠规则计算应付款项，判断各选项【详解】购物总额为78元，则应付款为元，A正确；购物总额为228元，则应付款为元，B正确；购物总额为368元，则应付款为元，C错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有元对应购物额度为，因此购物总额为元，D正确故选：ABD【点
8、睛】本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300元的乘以0.8，这才是正确结论，不能全部乘以0.811. 下列函数是偶函数且在上具有单调性的函数是（ ）A B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由函数为非奇非偶函数，可判定A不正确；根据二次函数的性质，可判定B正确；根据函数奇偶性的定义和分段函数的性质，可判定C正确；根据函数不具有单调性，可判定D不正确.【详解】A中，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；B中，函数，根据二次函数的性质，可得函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，且在上为单调递增函数，符合题意
9、；C中，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又由，可得函数在上为单调递减函数，符合题意；D中，函数，在上不是单调函数，不符合题意.故选：BC.12. 若，则下列选项成立的是（ ）A. B. 若，则C. 的最小值为D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.【详解】A. 因为，故正确；B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确；C. 因为，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误；D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确；故选：ABD三、填空题：本题共4个
10、小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合，则集合的个数为_个.【答案】4【解析】【分析】根据，结合集合的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，集合，若集合中只有一个元素，可得；若集合中只有两个元素，可得或；若集合中有三个元素，可得，综上可得，集合的个数为4个.故答案为：.14. 已知关于的不等式的解集为，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，关于的方程的两根分别为和，利用韦达定理可求得实数的值.【详解】由于关于的不等式的解集为，则关于的方程的两根分别为和，且，由韦达定理可得，解得.故答案为：.15. _.【答案】【解析】【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据
11、指数幂的运算公式，可得.故答案为：.16. 一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.记圆周率小数点后第位上的数字为，则是的函数，设，.则（1）的值域为_；（2）函数与函数的交点有_个.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】（1）由对任意的n，y的值总为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9可得值域；（2）考虑，结合圆周率的特点可得.【详解】（1）根据函数的定义可知，每一个n都对应圆周率上的唯一的数字y，即对任意的n，y的值总为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以值域为；（2）若有交点，则，可得或2，由于
12、，当时，当时，而，故函数与函数的交点只有1个.故答案为：；1.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知全集，集合，集合.（1）求；（2）求；（3）设集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）先求出集合A，B，再根据交集定义即可求出；（2）先求出，再根据并集定义即可求出； （3）由题可得且，解出即可.【详解】（1）由题解得， 所以 （2）所以或所以或；（3）因为，所以且，所以的取值范围为：.18. 已知函数的定义域为，当时，函数.（1）若，利用定义研究在区间上的单调性；（2）若是偶函数，求的解析式.【答案】
13、（1）单调递增函数；（2）.【解析】【分析】（1）由得到，设且 ，然后判断的符号，下结论.（2）令，则， ，然后由是偶函数求解.【详解】（1）当时，设且 ，则 ， ，因为，所以 ，所以， 即，所以在区间为单调递增函数.（2）令，则， 所以 ,因为是偶函数,所以, 所以函数在上的解析式为：.19. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到区间（单位：元/（）内，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（）.（1）写出本年度电价下调后电力部门的利润（单位：元）关于实
14、际电价（单位，元/）的函数解析式；（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？【答案】（1），；（2）0.6元/（）时.【解析】【分析】（1）根据题意，结合反比例的定义进行求解即可；（2）根据题意得到不等式组，解不等式组进行求解即可.【详解】（1），（2）当时，由题意可得：整理得：，解得所以当电价最低定为0.6元/（）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了一元二次不等式的解法应用，考查了数学运算能力.20. 已知函数，.（1）若在上单调递增，求实数a的取值区间；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）；
15、（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数图象的性质确定参数a的取值区间；（2）确定方程的根或，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.【详解】（1）因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线 由二次函数图象可知，的单调增区间为因为在上单调递增，所以 所以，所以实数的取值区间是 ；（2）由得： 方程的根为或当时，不等式的解集是 当时，不等式的解集是 当时，不等式解集是 综上，当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是21. 已知函数是奇函数，.（1）求的值，并求关于的不等式的解集；（2）求函数图象的对称中心.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先由求出
16、，再验证函数是奇函数，再解不等式得出解集；（2）由结合的对称性得出函数图象的对称中心.【详解】（1）由题意得，函数的定义域为因为函数是奇函数，所以， 所以，解得 检验可知，当时，即函数为奇函数，满足题意由得，所以， 即 所以，解得，所以该不等式的解集为 （2）由题知： 所以函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的因为为奇函数，所以其图象的对称中心为 所以图象的对称中心是22. 已知函数.（1）直接写出在上的单调区间（无需证明）；（2）求在上的最大值；（3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，使得，则称区间为的“区间”.已知（），若是函数的“区间”，求实数的最大值.【答案】（1）答案见解析；
17、（2）答案见解析；（3）1【解析】【分析】（1）由对勾函数的性质，结合基本不等式即可写出单调区间；（2）讨论参数的范围，确定不同情况下的最大值；（3）根据“区间”的定义，讨论、时对应值域是否是对应值域的子集，进而求对应实数的最大值.【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）由题意知，若，则在上单调递减，所以的最大值为 若，则在上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为；若，则在上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为 综上知：若，则的最大值为；若，则的最大值为（3）由（1）（2）知：当时，在上的值域为，在上的值域为，有，满足，使得，此时是的“区间”，当时，在上的值域为，在上的值域为，当时，使得，即，此时不是的“区间”，综上，实数的最大值为.【点睛】关键点点睛：定义域区间端点含参数需要讨论其范围，根据不同的参数范围确定函数的值域范围，进而确定最值；理解“区间”的定义，函数的值域是上值域的子集.