1、1.2 应用举例第2课时 应用举例(二)目标定位重点难点1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式2巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题.重点：正弦定理、余弦定理及其变式难点：解决三角形中的几何计算问题.解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形据此可按已知条件分以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由ABC180求出
2、另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用ABC180，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解1在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形【答案】B【解析】2sin Acos Bsin(AB)，sin(AB)0，AB.2三角形的一边长为 14，这条边所对的角为 60，另两边之比为 85，则这个三角形的面积为()A40 3 B20 3C40 2
3、 D20 2【答案】A【解析】设另两边长为 8x,5x，则 cos 6064x225x214280 x2，解得 x2，两边长是 16 与 10，三角形的面积是121610sin6040 3.3(2019 年福建厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a 为最大边，如果 sin2(BC)sin2Bsin2C，则角 A 的取值范围为()A0，2 B4，2C6，3 D3，2【答案】D【解析】由题意得 sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20，则 cos Ab2c2a22bc0.0A，0A3.角 A 的取值范围是3，2.4在ABC 中，内角
4、A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc14a,2sin B3sin C，则 cos A 的值为_【答案】14【解析】由 2sin B3sin C 得 2b3c，即 b32c，代入 bc14a，整理得 a2c，故 cos Ab2c2a22bc94c2c24c2232cc14.【例1】设ABC的三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知bcos C(2ac)cos B(1)求角B的大小；(2)若x0，)，求函数f(x)sin(xB)sin x的值域三角形中的三角函数【解题探究】(1)由正弦定理化简已知等式，利用两角和正弦公式得到 sin(BC)2sin Acos B，结合 sin(
5、BC)sin A 可得角 B 的大小(2)化简得 f(x)3sinx6，由 x0，)利用正弦函数的图象与性质，可得函数 f(x)的值域【解析】(1)由已知及正弦定理，得 sin Bcos C(2sin Asin C)cos B，移项得 sin Bcos Ccos Bsin C2sin Acos B，sin(BC)2sin Acos Bsin(BC)sin A0，2cos B1，可得 cos B12.B(0，)，B3.(2)B3，f(x)sinx3 sin xsin xcos 3cos xsin 3sin x32sin x 32 cos x 3sinx6.x0，)，6x656，sinx6 12，
6、1.故函数 f(x)的值域是 32，3.【方法规律】本题给出三角形的边角关系，求B的大小，并依此求一个三角函数式的值域着重考查了正弦定理、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题在ABC 中，BC 5，AC3，sin C2sin A(1)求 AB 的值；(2)求 sin2A4 的值【解析】(1)在ABC 中，根据正弦定理，得ABsin C BCsin A.于是 ABBCsin Csin A 2BC2 5.(2)在ABC 中，根据余弦定理，得cos AAB2AC2BC22ABAC2 55，于是 sin A 1cos2A 55.从而 sin 2A2sin Acos A45，cos 2A
7、cos2Asin2A35.所以 sin 2A4 sin 2Acos 4cos 2Asin 4 210.【解题探究】(1)运用诱导公式和二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值求法，即可得到；(2)由三角形的余弦定理和面积公式，结合条件计算即可得到面积正、余弦定理的综合问题【例 2】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 a 3，bc3.(1)求 cos A2cos BC2的最大值；(2)在(1)的条件下，求ABC 的面积【解析】(1)由 ABC，可得BC22A2，即有 cos BC2sin A2，则 cos A2cos BC212sin 2A22sin A22sin A21
8、2232，当 sin A212，即 A3时，cos A2cos BC2取得最大值32.(2)由(1)可得 cos A12，cos Ab2c2a22bcbc22bca22bc92bc32bc12，即有 bc2，又 sin A 32，则 SABC12bcsin A122 32 32.【方法规律】解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理，运用余弦定理时，要注意整体思想的运用以上特征都不明显时，则要考虑两
9、个定理都有可能用到ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin Acsin C 2asin CbsinB(1)求角 B 的大小；(2)若 A75，b2，求 a，c.【解析】(1)由正弦定理得 a2c2 2acb2，由余弦定理得 b2a2c22accos B，cos B 22.0B180，B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 452 64，由正弦定理得 absin Asin B1 3.由已知得 C180457560，cbsin Csin B2sin 60sin 45 6.【例3】已知钝角三角形的三边长分别是a，a1，a2，其最大内
10、角不超过120，则a的取值范围是_【解题探究】本题考查的知识点是余弦定理的应用，由钝角三角形的任意两边之和大于第三边及其最大内角不超过120，我们可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围求最值及范围问题【答案】32a3【解析】钝角三角形的三边长分别是 a，a1，a2，其最大内角不超过 120，aa1a2，0a2a12a222aa112，解得32a3.【方法规律】(1)求与已知有关的参数的范围或者最值问题，要注意条件中的范围限制以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围找完善，避免结果的范围过大；(2)三角形中边、角的最值或范围求法除利用三角形的性质数形结合外，也可通过建立目标
11、函数转化为函数的最值问题(形如yasin bcos)求解(2019 年福建泉州期末)在钝角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 acos Absin A，则 sin Asin C 的最大值为()A 2 B98 C1 D78【答案】B【解析】acos Absin A，sin Acos Asin Bsin Asin A0，cos Asin B又 B 为钝角，BA2，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2sin A14298.sin Asin C 的最大值为98.【示例】在ABC中，角A，B，C满足2BAC，B的
12、对边b1，求ac的取值范围忽略范围而致错【错解】2BAC，ABC，B3，C23 Aacbsin Asin B bsin Csin B 2 33(sin Asin C)2 33 sin Asin23 A 3sin Acos A2sinA6.0A，6A676.12sinA6 12.1ac1.又 ac0，0ac1.【错因】错解中前面还照顾到了 A 与 C 的相互制约关系，后面在讨论 sinA6 的取值范围时又忽略了误把(0，)作为 A的取值范围；另一处错误是由6A676 得出12sinA612，事实上 sin x 在6，76 上不单调【正解】在原解答中把“0A”后面的去掉，换为 0A，0C，C23
13、A，0A23，6A656，12sinA6 1，1ac2.【警示】本题主要考查正弦定理的应用，利用条件将ac转化为三角函数是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及辅助角公式的应用在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理？根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，)，在此范围内同一个正弦值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在(0，)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定
14、理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论1在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 b2a，A2B，则 cos B()A12 B 32 C14 D 22【答案】C【解析】已知 A2B，ABC，则 BC，所以 bc2a.则 cos Ba2c2b22ac14.故选 C2在ABC 中，若 a2，B60，b 7，则 BC 边上的高等于()A3 32 B 3 C3 D 5【答案】A【解析】因为在ABC 中，a2，B60，b 7，所以 cos 60c222 724c，解得 c3 或 c1(舍去)则 BC边上的高为 csin 603 32.故选 A3(2019 年天津模拟)在ABC 中
15、，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A2，sin Csin(BA)2sin 2A，则角 A的取值范围为()A0，6 B0，4C6，4 D6，3【答案】B【解析】在ABC 中，C(AB)，所以 sin(AB)sin(BA)2sin 2A，即 2sin Bcos A2 2sin Acos A因为 A2，所以 cos A0，所以 sin B 2sin A由正弦定理得 b 2a，所以 A 为锐角又 sin B 2sin A(0,1，所以 sin A0，22，所以 A0，4.4已知ABC 的周长为 21 且 sin Asin B 2sin C，则边 AB 的长为_【答案】1【解析】sin Asin B 2sin C，由正弦定理得 BCAC 2AB又 ABBCAC 21，AB1.点击进入WORD链接
