1、广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|x24，那么AB=（）A（2，2）B（1，2）C（1，2）D（1，4）2（5分）设i为虚数单位，则=（）A23iB2+3iC23iD2+3i3（5分）命题“xR，exx+10”的否定是（）AxR，lnx+x+10BxR，exx+10CxR，exx+10DxR，exx+104（5分）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）Ay=x3By=ln（x）Cy=xexDy=x+5（5分）设变量x，y满
2、足约束条件，则目标函数z=4x+y的最小值为（）A1B4C11D126（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A5BCD7（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）A3B10C0D28（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面，=l，则l（）A与m，n都相交B与m，n中至少一条相交C与m，n都不相交D至多与m，n中的一条相交9（5分）设aR，若函数y=ex+ax，xR，有大于1的极值点，则（）Aa1Ba1CaDa10（5分）设M是ABC内一点，且=2，BAC=30定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积
3、若f（P）=（，x，y），则log2x+log2y的最大值是（）A5B4C3D2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题（11-13题）11（5分）某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是个12（5分）在ABC中，sinC=，cosB=，则角cosA=13（5分）将正整数排成如图：其中排在第i行第j列的数若记为a，例如：a=9，则a=选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程
4、选做题）14（5分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=（几何证明选讲选做题）15如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则CBD=三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数（）若点在角的终边上，求f（）的值；（）若，求f（x）的值域17（12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8103018经常使用信息技术实施教学的人数24104（）求该校教
5、师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？18（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4E，F分别在线段BC和AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF（）求证：NC平面MFD；（）若EC=3，求证：NDFC；（）求四面体NFEC体积的最大值19（14分）已知在正项数列an中，Sn表示数列an前n项和且Sn=an2+an+，nN+，数列bn满足bn=，Tn为数列bn的前n项和（I） 求an，Sn；（）是否存在最大的整数t，使得对
6、任意的正整数n均有Tn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由20（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2（其中a0）上任意一点与点P（0，）的距离等于它到直线y=1的距离（I）求抛物线的方程；（）若点M的坐标为（0，2），N为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21（14分）已知在区间1，1上是增函数（ I）求实数a的取值范围；（ II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2求|x1x2|的最大值；试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1
7、|x1x2|对aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|x24，那么AB=（）A（2，2）B（1，2）C（1，2）D（1，4）考点：交集及其运算 专题：计算题分析：集合A与集合B的公共元素构成集合AB，由此利用集合A=x|x1，B=x|x24=x|2x2，能求出集合AB解答：解：集合A=x|x1，B=x|x24=x|2x2，AB=x|1x2故选C点评
8、：本题考查集合的交集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）设i为虚数单位，则=（）A23iB2+3iC23iD2+3i考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数分析：复数的分子、分母、同乘分母的共轭复数化简即可解答：解：故选C点评：本题主要考查了复数代数形式的四则运算，属容易题3（5分）命题“xR，exx+10”的否定是（）AxR，lnx+x+10BxR，exx+10CxR，exx+10DxR，exx+10考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：利用全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，写出结果即可解答：解：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命
9、题，命题“xR，exx+10”的否定是：xR，exx+10故选：D点评：本题考查命题的否定，注意否定形式以及量词的变化，基本知识的考查4（5分）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）Ay=x3By=ln（x）Cy=xexDy=x+考点：利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质 专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论解答：解：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项y=x3单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值故选：D点评：本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查5（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最小
10、值为（）A1B4C11D12考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=4x+z，平移直线y=4x+z，由图象可知当直线y=4x+z经过点A时，直线y=4x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0+1=1，故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A5BCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：根据题意可求得a和b
11、的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率解答：解：依题意可知=，求得a=2bc=be=故选C点评：本题主要考查了双曲线的简单性质解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴，根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式7（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）A3B10C0D2考点：循环结构 专题：计算题分析：通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可解答：解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=1，k=2，第2次判断后循环，s=0，k=3，第3次判断并循环s=3，k=4，第3次判断退出循环，输出S=3故选：A点评：本题考查循环结
12、构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力8（5分）已知m，n为异面直线，m平面，n平面，=l，则l（）A与m，n都相交B与m，n中至少一条相交C与m，n都不相交D至多与m，n中的一条相交考点：空间中直线与直线之间的位置关系 分析：由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有mn解答：解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m，l，所以lm，同理ln，则 mn故选B点评：本题的考点是异面直线，利用异面直线的定义和共面直线的关
13、系判断9（5分）设aR，若函数y=ex+ax，xR，有大于1的极值点，则（）Aa1Ba1CaDa考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于1的极值点，故导函数有大于1的根解答：解：y=ex+ax，y=ex+a由题意知ex+a=0有大于1的实根，由ex=a，得a=ex，x1，exa故选：C点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法，是中档题10（5分）设M是ABC内一点，且=2，BAC=30定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积若f（P）=（，x，y），则log2
14、x+log2y的最大值是（）A5B4C3D2考点：基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：由向量的数量积可得|=4，从而求出SABC=1，进而可得x+y=，从而利用基本不等式求最大值解答：解：由题意，=|cos30=2，|=4，则SABC=|sin30=1又SPBC=，SABC=SPAB+SPAC+SPBC=x+y+=1，x+y=，xy（）2=（当且仅当x=y=时成立），log2x+log2y=log2xylog2=4，故选B点评：本题考查了向量的运算、三角形面积相等即求法、基本不等式、对数运算等，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分其中14、15题是选做题，
15、考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分（一）必做题（11-13题）11（5分）某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，现用分层抽样的方法从该地区中小学生中抽取243人作为样本，那么抽取的小学生的人数是110个考点：分层抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：根据小学生抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求初中生中需抽取的人数解答：解：由题可知抽取的比例为=，故初中生应该抽取人数为N=110故答案为：110点评：本题考查基本的分层抽样，解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，属基本题12（5分）在ABC中，sinC=，cosB=，则角cosA=考点：两角和
16、与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：由同角三角函数的基本关系可得sinB和cosC，可得cosA=cos（B+C）=sinBsinCcosBcosC，代值计算可得解答：解：在ABC中，sinC=，cosB=，B为钝角，且sinB=，C必为锐角，且cosC=，cosA=cos（B+C）=sinBsinCcosBcosC=故答案为：点评：本题考查两角和与差的余弦函数，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题13（5分）将正整数排成如图：其中排在第i行第j列的数若记为a，例如：a=9，则a=2015考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：先找到数的分布规律，求出第n1行结束的时候一共出现的数
17、的个数，即可求得结论解答：解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候共排了1+2+3+（n1）=个数，第63行第62列的数a=+62=2015故答案为：2015点评：本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）在极坐标系中，已知两点A（5，）、B（8，），则|AB|=7考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：利用余弦定理即可得出解答：解：AOB=，AB2=49，AB=7故答案为：7点评：本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用，属于基础题（几何证明选讲选做题）15如图所示，AB是半径等于3的圆
18、O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则CBD=30考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；压轴题分析：欲求：“CBD”，根据圆中角的关系：COD=2CBD，只要求出COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题解答：解：由割线定理得，PAPB=PCPD，PA=4，PC=5，410=5PD，PD=8，CD=85=3，CDO是等边三角形，COD=60，从而CBD=30故填：30或点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题三、解答题：
19、本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数（）若点在角的终边上，求f（）的值；（）若，求f（x）的值域考点：任意角的三角函数的定义；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的单调性 专题：计算题分析：（）因为点在角的终边上，所以，化简f（） =2sincos2sin2，把，代入运算得到结果（） 化简f（x）=，根据x的范围得到 ，从而求得f（x）的值域解答：解：（）因为点在角的终边上，所以，所以=（）=，因为，所以，所以，所以f（x）的值域是2，1点评：本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，三角恒等变换是
20、解题的关键17（12分）对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计数据如下：教师教龄5年以下5至10年10至20年20年以上教师人数8103018经常使用信息技术实施教学的人数24104（）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（）在教龄10年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：计算题；应用题分析：（）先根据表格算出该校教师人数及该校经常使用信息技术实施教学的教师人数，从而利用概率公式得出“该校教师在教学中经常使用信息
21、技术实施教学”的概率，最后利用对立事件得出该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；（）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为ai（i=1，2），教龄在5至10年的教师为bi（j=1，2，3，4），利用列举法得到任选2人的基本事件及“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”事件，最后利用古典概型及其概率计算公式即可得到恰有一人教龄在5年以下的概率解答：解：（）该校教师人数为8+10+30+18=66，该校经常使用信息技术实施教学的教师人数为2+4+10+4=20（2分）设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件A，（3分）则，（5分） （6分）所以该校教师在教学中不经
22、常使用信息技术实施教学的概率是（）设经常使用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为ai（i=1，2），教龄在5至10年的教师为bi（j=1，2，3，4），那么任选2人的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1， b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个 （9分）设“任选2人中恰有一人的教龄在5年以下”为事件 B，（10分）包括的基本事件为（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a
23、2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共8个，（11分）则 （13分）所以恰有一人教龄在5年以下的概率是点评：本小题主要考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题18（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4E，F分别在线段BC和AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF（）求证：NC平面MFD；（）若EC=3，求证：NDFC；（）求四面体NFEC体积的最大值考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析
24、：（）先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC平面MFD；（）连接ED，设EDFC=O根据平面MNEF平面ECDF，且NEEF，可证NE平面ECDF，从而可得FCNE，进一步可证FC平面NED，利用线面垂直的判定，可得NDFC；（）先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值解答：（）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MNEFCD，MN=EF=CD所以四边形MNCD是平行四边形，（2分）所以NCMD，（3分）因为NC平面MFD，所以NC平面MFD （4分）（）证明：连接ED，设EDFC=O因为平面MNEF平面ECDF，且
25、NEEF，所以NE平面ECDF，（5分）因为FC平面ECDF，所以FCNE （6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以 FCED （7分）所以FC平面NED，（8分）因为ND平面NED，所以NDFC （9分）（）解：设NE=x，则EC=4x，其中0x4由（）得NE平面FEC，所以四面体NFEC的体积为 （11分）所以 （13分）当且仅当x=4x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大 （14分）点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查基本不等式的运用，掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确表示四面体NFEC的体积是关键19（14分）已知在正项数列an中，Sn表
26、示数列an前n项和且Sn=an2+an+，nN+，数列bn满足bn=，Tn为数列bn的前n项和（I） 求an，Sn；（）是否存在最大的整数t，使得对任意的正整数n均有Tn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由考点：数列与不等式的综合 分析：（）由条件再写一式，两式相减，从而数列an是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出an，Sn（）由（）知bn=（），Tn=（1）+（）+（）=（1）=，由此能求出t=11符合题意解答：解：（）Sn=an2+an+，（1分）当n2时，整理得（an+an1）（anan12）=0（3分）数列an各项为正，an+an10（4分）anan1=2（5分）数列an
27、是首项为1，公差为2的等差数列an=a1+（n1）2=2n1（6分）Sn=n2（7分）（）由（）知bn=（） （8分）于是Tn=（1）+（）+（）=（1）=（10分）易知数列Tn是递增数列，故T1=是最小值，（12分）所以只需，即t12，因此存在t=11符合题意（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2（其中a0）上任意一点与点P（0，）的距离等于它到直线y=1的距离（I）求抛物线的方程；（）若点M的坐标为（0，2），N为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y轴的直线l，使直线l
28、被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）由抛物线的定义知P（0，）是其焦点，且=1，由此能求出抛物线方程（）设N（2x，x2），则MN的中点H的坐标为H（x，1+），设直线l的方程为y=c，则点H到直线l的距离为d=|，由此能推导出存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数，直线l的方程为y=1解答：解：（本题满分14分）（I）由抛物线的定义知P（0，）是其焦点，且=1，（3分），抛物线方程为y=（4分）（）设N（2x，x2），则MN的中点H的坐标为
29、H（x，1+），（6分）设直线l的方程为y=c，则点H到直线l的距离为d=|，（7分）|MN|2=4x2+（x22）2=x4+4，（8分）设所求弦长为L，则L2=|MN|24d2=x4+44（）2=4x2（c1）+8c4c2，（11分）若弦长L恒为常数，即L的值与x的值无关，所以c=1，L=2（13分）所以存在垂直于y轴的直线l，使直线l被以MN为直径的圆截得的弦长恒为常数，此直线l的方程为y=1（14分）点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（14分）已知在区间1，1上是增函数（ I）求实数a的取值范围；（
30、 II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2求|x1x2|的最大值；试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由考点：函数恒成立问题；根与系数的关系；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；压轴题分析：（I）先求导函数f（x），然根据f（x）在1，1上是增函数则f（x）0在x1，1恒成立，然后利用二次函数的性质进行解题即可求出a的取值范围；（II）先求出集合A，然后根据得x2ax2=0，x1，x2是方程x2ax2=0的两个非零实根，利用根与系数的关系表示出|x1x2|，最后根据a
31、的范围可求出|x1x2|的最大值；要使m2+tm+1|x1x2|对aA及t1，1恒成立，即m2+tm+13即m2+tm20对t1，1恒成立，设 g（t）=m2+tm2=mt+（m22），将t看成变量，则g（t）是关于t的一次函数，然后建立不等式，解之即可求出所求m的取值范围解答：解：（I）1分）f（x）在1，1上是增函数f（x）0即x2ax20，在x1，1恒成立 （1）（3分）设 （x）=x2ax2，则由（1）得解得1a1所以，a的取值范围为1，1（6分）（II）由（I）可知A=a|1a1由即得x2ax2=0=a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两个非零实根x1+x2=a，x1x2=2，又由（1）1a1（9分）|x1x2|的最大值为3要使m2+tm+1|x1x2|对aA及t1，1恒成立即m2+tm+13即m2+tm20对t1，1恒成立（2）（11分）设 g（t）=m2+tm2=mt+（m22），则由（2）得解得m2或m2故存在实数m（，2）（2，+）满足题设条件（14分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题和根与系数的关系，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题