1、课后素养落实(三十七)最大值与最小值(建议用时：40分钟) 一、选择题1已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)A令F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，又f(x)g(x)，故F(x)0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a)2已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm的值为()A16B12C32D6Cf(x)3x2123(x2)(x2)，由f(3)17，f(3)1，f
2、(2)24，f(2)8，可知Mm24(8)323已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值为3，那么此函数在2，2上的最小值为()A0B5C10D37D因为f(x)2x36x2m，所以f(x)6x212x6x(x2)，可以得到函数在2，0上是增函数，在0，2上是减函数，所以当x0时，f(x)m为最大值，所以m3，即f(x)2x36x23，所以f(2)2(8)64337，f(2)5，所以最小值是37，故选D4函数f(x)x33x在区间(2，m)上有最大值，则m的取值范围是()A(1，)B(1，1C(1，2)D(1，2D由于f(x)3x233(x1)(x1)，故函数在(，1)和(1，
3、)上递增，在(1，1)上递减，f(1)f(2)2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(2，m)上有最大值，根据图象可知m(xB，xA，即m(1，2，故选D5若函数f(x)2x36x23a对任意的x(2，2)都有f(x)0，则a的取值范围为()A(，3)B(2，)C3，)D(0，3)Cf(x)2x36x23a，f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0，或x2在(2，0)上f(x)0，f(x)单调递增；在(0，2)上f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(0)3a因为对任意的x(2，2)都有f(x)0，所以f(x)max3a0，得a3故选C二、填空题6函数f(x)xln
4、 x在区间(0，e上的最小值为_1f(x)1，令f(x)0，得x1当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，当x1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)17若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f(x)令f(x)0，得x(x舍去)，若x时，f(x)取最大值，则f(x)max，1，不符合题意；若f(x)maxf(1)，则a1，符合题意8已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_(，2ln 22函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2
5、)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可三、解答题9已知函数f(x)x33ax2，曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xym0(1)求实数a，m的值；(2)求f(x)在区间1，2上的最值解(1)f(x)3x23a，曲线f(x)x33ax2在x1处的切线方程为3xym0，解得a2，m0(2)由(1)知，f(x)x36x2，则f(x)3x26，令f(x)0，解得x，f(x)在1，)上单调递减，在(，2上单调递增，又f(1)1623，f(2)236222，f()()36224，f(x)在区间1，2
6、上的最大值为2，最小值为2410已知函数f(x)x33x29xa(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)2 021对于x2，2恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)3x26x9由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)由f(x)0，2x2，得x1因为f(2)2a，f(2)22a，f(1)5a，故当2x2时，f(x)min5a要使f(x)2 021对于x2，2恒成立，只需f(x)min5a2 021，解得a2 02611(多选题)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的可能取值是()A0B1C2D3ABC由f(x)33x20，
7、得x1当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a2121a，解得1a又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2a2综上，1a2故选ABC12(多选题)设函数f(x)，则下列说法正确的是()Ax(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方Bf(x)存在单调递增区间Cf(x)有且仅有两个极值点Df(x)在区间(1，2)上有最大值AB由f(x)，当x(0，1)时，ln x0，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；因为f(x)0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以B是正确
8、的；由g(x)ln x，则g(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增，则函数f(x)0只有一个根x0，使得f(x0)0，当x(0，x0)时，f(x)0，函数单调递减，当x(x0，)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；由g(x)ln x(x0)，函数g(x)单调递增，且g(1)10，g(2)ln 20，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB13已知函数f(x)2x2ln x，若f(x0)3，则x0_，若在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_1函数f(x)2x2ln x，x(0，)，f(x)4x，由f(x0
9、)3，x00，解得x01令f(x)0得x，当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以当x时，f(x)取得极小值，由题意可知：解得1k，实数k的取值范围是14已知函数f(x)x3x26xa，若x01，4，使f(x0)2a成立，则实数a的取值范围是_f(x0)2a，即xx6x0a2a，可化为xx6x0a，设g(x)x3x26x，则g(x)3x29x63(x1)(x2)0，得x1或x2g(1)，g(2)2，g(1)，g(4)16由题意，g(x)minag(x)max，a1615已知函数f(x)aexln x1(1)设f(2)的是函数f(x)的极值，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex由题设知，f(2)0，所以a从而f(x)exln x1，f(x)ex当0x2时，f(x)2时，f(x)0所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1设g(x)ln x1，则g(x)当0x1时，g(x)1时，g(x)0，所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0因此，当a时，f(x)0