1、3.3 一元二次不等式及其解法考察下面含未知数x的不等式：15x2+30 x10 和 3x2+6x10.这两个不等式有两个共同特点：（1）含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数为2.一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c0(a0)，或ax2+bx+c0，或f(x)0；（2）x2x60.我们来考察二次函数f(x)=x2x6=的图象和性质。2125()24x 方程x2x6=0的判别式于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=2，x2=3.1 4 1(6)250 建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图
2、象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(2，0)，N(3，0)，(12,-254)-3-2-1123-1-2321Oyx(12,-254)-3-2-1123-1-2321Oyx 观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合A=x|x3是一元二次不等式x2x60的解集。抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B=x|2x3是一元二次不等式x2x60的解集。事实上，当xA时，若x2，则x+20，且x30；若x3，同样可推知(x+2)(x3)0。当xB时，即2x0，x30，因此(x+2)(x3)0，就是解(x+2)(x3)0,相
3、对于解不等式组或，解这两个不等式组得x3或x2.2030 xx 2030 xx （2）因为x2x6=(x+2)(x3)，所以解x2x60，就是解(x+2)(x3)0，相对于解不等式组或，解这两个不等式组得2x0；（2）x22x+30.分析：考察方程x22x+3=0的判别式=(2)24130。-1123-1321Oyx-1123-1321Oyx解：对于任意实数x，x22x+3=(x1)2+20，因此不等式（1）的解集为实数集R，不等式（2）无解，或说它的解集为空集.通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)和ax2+bx+c0)解集的形式作一般性的分析。设方程ax2+bx+
4、c=0(a0)的判别式为。（1）当0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x10的解集是(，x1)(x2，+)，不等式ax2+bx+c0的解集是的全体实数，即ax2+bx+c0的解集是空集，即不等式无解。2bxa(,)(,)22bbaa（3）当0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c0.解：原不等式化为4x2+x10，方程4x2+x1=0的根是 12117117,88xx 所以不等式的解集是117117|88xx 例3解不等式x2+4x+40.解：因为=42414=0，原不等式化为(x+2)20，所以不等式的解集是xR|x2.例4解不等式2x2+4x30.解：原不等式化为2x24x+30，所以原不等式的解集是例5求函数的定义域。223()23log(32)f xxxxx 解：由函数f(x)的解析式有意义得22230320 xxxx 即(23)(1)0(3)(1)0 xxxx解得31213xxx 或因此1x3，所求函数的定义域是1，3).
