1、广东省茂名市五校2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合，再求.【详解】或，.故选B.【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先，然后化简求虚部.【详解】 ，虚部为.故选A.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.3.设实数，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】
2、C【解析】【分析】和中间值和1比较，得到大小关系.【详解】 ， ，且 ， ， 故选C.【点睛】本题考查指数和对数化简，以及比较大小，一般指对幂函数比较大小，可以根据单调性比较，也可以根据中间值比较大小.4.下列命题是真命题的是（ ）.A. 命题 ， 则；B. 若平面，满足则；C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；D. “命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；【答案】C【解析】【分析】逐一分析选项，得到正确答案.【详解】A.全称命题的否定，故A不正确；B. 若平面，满足则或与相交，故B不正确；C.根据逆否命题的形式，可知C正确；D.命题为真，不能推出是真，反过来是真时，为真，所以“命
3、题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故D不正确.故选C【点睛】本题考查命题的相关知识，意在考查命题的简单应用，属于基础题型.5.已知两个向量满足且与的夹角为，则（ ）.A. 1B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据，代入求.【详解】 ，即 ，故选B【点睛】本题考查向量数量积的运算，意在考查公式的转化与计算能力，属于基础题型.6.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天
4、后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）.A. 48里B. 189里C. 288里D. 336里【答案】D【解析】【分析】记每天走的路程里数为，是等比数列，根据等比数列公式求解【详解】记每天走的路程里数为，是等比数列， 设第一天行走里程数是 ， ，故选D.【点睛】本题考查数学文化问题，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型.7.某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图的三个图都是三角形，可知几何体是三棱锥，底面是如俯视图的底面，三棱锥的高是正视图的高，.【详解】由三视图可知
5、几何体是三棱雉，底边是边长为的等边三角形，高为3， ，故选C .【点睛】本题考查根据三视图，求几何体的体积，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型.8.函数的图象可能是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ，当时，排除C.故选D .【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质
6、判断选项.9.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.A. B. 9C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10.已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）.A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先化简函数 ，需满足，根据函数在区间单调递减，所以求的范围，且是的子集，最后求的范围.【详解】 在区间上单调递减， ,即 ，当时， ， ，综上可知.
7、故选C【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如，或，的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.11.在等腰直角三角形中，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球
8、的半径.【详解】中，易知， 翻折后, ，设外接圆的半径为， ， ，如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为， ， 四面体的外接球的表面积为.故选D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足是偶函数，则不等式的解集为（ ）.A.
9、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先构造函数 ，根据导数判断函数是单调递增函数， 将不等式转化为即，利用单调性解不等式.【详解】设 ， 在上单调递增. 即，在上单调递增，答案，故选A【点睛】本题考查根据导数判断函数的单调性，根据单调性解抽象不等式，意在考查转化与变形，利用导数构造函数，首先要熟悉导数运算法则，其次要熟悉一些常见的函数的导数，比如， ，.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设，则_.【答案】【解析】【分析】先求，再求.【详解】 .故答案为-2【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.14.已知动点满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首
10、先做出可行域，表示与连线的斜率，根据数形结合求的范围.【详解】作出可行域如图，表示与连线的斜率，当直线过点时，最大，此时，当直线过点时，最小，此时 的最小值为， 故答案为.【点睛】本题考查线性规划，根据目标函数的几何意义求最值，属于基础题型.15.已知点是角终边上任一点，则_.【答案】【解析】分析】先求得 再利用齐次式进行化简计算即可.【详解】，.【点睛】本题考查三角函数定义和恒等变形，用表示和的齐次式子，意在考查变形和计算能力.16.设正项等差数列的前项和为，和是函数的极值点，则数列的前项和为_.【答案】【解析】分析】首先求函数的导数，得到，所以，根据等差数列的性质和求和公式得到，再代入，利
11、用并项求和.【详解】，.，数列的前项和为.【点睛】本题考查函数极值点和数列求和的综合应用，重点考查数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.并项求和法，比如本题；6.倒序相加法求和.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）首先利用向量数量积得到，利用三角函数恒等变形得到 ，然后利用周期公
12、式求周期；（2）由（1）可知，求值，然后利用求解.【详解】（1），函数的最小正周期.（2）， ， ，.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，意在考查变形与转化，以及计算求解能力，属于基础题型.18.在数列中，为的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先根据已知得到，然后两式相减得到，构造是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1），再利用裂项相消法求和，证明.【详解】（1），两式相减得 ， ，又，数列是以3为首项， 3为公比的等比数列，（2）【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项
13、相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.19.的内角，的对边分别为，已知（1）求角；（2）若是边的中点，.求的长；【答案】（1）；（2）或7；【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，得到，由，代入化简，最后得到求角；（2）首先在中，根据余弦定理求，然后在中再利用余弦定理求边.【详解】（1），由正弦定理得，（2）在中，由余弦定理得 ，或，当时，中，由余弦定理得，当时， 或.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属
14、于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.20.如图，在四棱锥中，侧面底面，满足，底面是直角梯形，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，所以在上取点，使得，连结，证明；（2）根据体积转化，再利用比例关系，这样.【详解】证明（1）在上取点，使得，连结 ，又，且，四边形为平行四边形 又平面，平面，平面.（2）平面平面，平面平面，平面， =三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的判断定理，以及几何体的体积，意在考查转化与推理能力，和计算能力，证明线面平行的
15、方法：1.一般可根据判定定理证明线线平行，证明线面平行，2.转化为证明面面平行，可得线面平行.21.已知任意三次函数都有对称中心，且的对称中心为，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三次函数对称中心的定义先求，得，利用导数的几何意义求切线方程；（2）由（1）知， 恒成立，转化为恒成立，设，转化为利用导数求函数的最大值.【详解】（1）由已知得， 当时， ，曲线在点处的切线方程是 ， 即， （2）由（1）知，时，恒成立，即恒成立，即，令， 令，时，在单调递减， ， ， 单调递增；单调递减； ，的取值范围为.【点睛】本题
16、考查导数的几何意义，以及利用导数证明不等式，证明不等式恒成立是导数常考题型，一般可根据参变分离的方法转化为求最值，或是根据不等式直接设函数，讨论参数求函数的最值.22.已知函数，（1）讨论在上的单调性.（2）当时，若在上的最大值为，证明：函数在内有且仅有2个零点.【答案】（1），在单调递减；时，在单调递增；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1），分和，讨论函数单调性；（2）根据（1）的结论和最值求，因为函数单调递增， ，可知上有一个零点，设，再求，当时，从而得到含的单调性和零点，再判断函数的单调性和零点.【详解】（1），当，时， 单调递减，当时，单调递增，综上得当，在单调递减；时，在单调递增；（2）由（1）知时的最大值为由得，在上单调递增；且，在内有且仅有1个零点.当时令，在内单调递减，且，存在，使得，时，在单调递增时，在上无零点，当时，在内单调递减；又在内有且仅有1个零点，综上所述，在内有且仅有2个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.