1、东华高级中学生态园校区2021届高三上学期数学周测一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案。）1.在复平面内，复数对应的点分别为，则复数的共轭复数的虚部为（ ）A. B.C. D. 2.已知集合则A. B. C. D. 3.若则的最小值等于A. 6B. 9C. 4D. 14.已知等差数列和等差数列的前项和分别为且则使为整数的正整数的个数是 A. 2B. 3C. 4D. 55.已知为的最小内角，若向量则的取值范围是A. B. C. D. 6.已知函数（其中)若该函数在区间上有最大值而无最小值，且满足则实数的取值范围是A. B. C. D. 7.已知且恒成立，则
2、实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8.已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支上一点异于右顶点，的内切圆与轴切于点过作直线与双曲线交于两点，若使的直线恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分。）9.下列说法中正确的是 A. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据其线性回归方程是且则实数的值是 B. 正态分布在区间和上取值的概率相等 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 D. 若一组数据1，2，3的平
3、均数是2，则这组数据的众数和中位数都是210.在四棱锥中，底面是正方形，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是A. 为的中点B. 与所成的角为C.D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于11.已知且则下列正确的是 A. 的最大值为5； B.的最大值为C.的最小值为6； D. 的最小值为12.已知曲线（ ）A. 若曲线表示椭圆，则B. 若时，以为中点的弦所在的直线方程为C. 当时，为曲线的焦点，为曲线上一点，且则的面积等于4D. 若时，直线过曲线的焦点且与曲线相交于两点，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，16题第一空2分，第二空3分）13.如图所示，在排成方阵的16个点中，中心
4、位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_个14.若，则的值是_15.已知圆半径为2，弦点为圆上任意一点，则的最大值是_.16.已知函数当时，函数的最小值为_；若在区间上的最大值是5，则实数的取值范围为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）在这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答 已知的内角所对的边分别是若_，且成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由18.（12分）已知各项均为正数的数列前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）令数列的前项和为；求； 是否存
5、在整数使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，,是的中点，（1）求证：；若二面角的正弦值为，求四棱锥的体积20.（12分）在长方体中，已知从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量表示这两点之间的距离求随机变量的概率；求随机变量的分布列21.（12分）如图，椭圆的左、右焦点分别为轴，直线交轴于点，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1求椭圆的方程；过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由22.（12分）已知函数若函数在处取得极值，
6、证明：若恒成立，求实数的取值范围2021届高三上学期数学周测12月【答案】1. A2. D3. B4. C5. C6. C7. D8. C9. ABD10. ACD11. BCD12. ACD13. 312； 14. ；15. 6；16. 17. 解：选，即，解得舍去或，或，又，b，c成等差数列，不是三角形中最大的边，即，由，得，即，故是等边三角形选由正弦定理可得，故，整理得，即，又，b，c成等差数列，由余弦定理，可得，即，故是等边三角形选由正弦定理得，即，即，可得，由余弦定理，可得，即，故是等边三角形18. 解：根据题意知道数列的前n项和，又，得到，于是数列是首项为，公差为1的等差数列，即，
7、因此，且满足条件，因此数列的通项公式，因为，故；假设存在整数，使得不等式恒成立，因为要使得不等式恒成立，应有：当n为奇数时，即所以当时，的最大值为，所以只需当n为偶数时，所以当时，的最小值为，所以只需综上，可知存在满足条件，且，且又因为整数，所以取值集合为19. 证明：，M是BC的中点，平面平面SBC，平面平面，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD是矩形，M是BC的中点，SM、平面DMS，平面DMS，平面DMS，解：平面ABCD，以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，0，t，0，0，t，0，t，设平面ABS的法向量y，则，取，得，设
8、平面MAS的法向量b， 则，取，得0，设二面角的平面角为，二面角的正弦值为，解得，平面ABCD，四棱锥的体积：20. 解：如图，由于从长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点的取法总共有种，又的情况有两类：当时，即取矩形ABCD，或矩形，或矩形，或矩形的对角线的两个端点，每个矩形有2种取法，共有种取法；当时，取长方体的体对角线的两个端点，共有4种取法，故随机变量的概率是依题意，随机变量X的所有可能取值为，当时，即取正方形和正方形的边所对棱的两个端点，共有8种取法，则；当时，即取正方形和正方形的对角线的两个端点，每个正方形有两种取法，共有种取法，则当时，即取棱长为2的棱的两个端点，共有4种取法，则
9、；由知，当时，；当时，故随机变量X的分布列为X12P21. 解：设，由题意可得，即是的中位线，且，即，整理得又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，的面积最大，整理得，即，联立得，变形得，解得，进而椭圆E的方程式为设，由对称性知，设AC与x轴交于，则直线AC的方程为，联立，消去x得：，由A、B、S三点共线知，即，所以，整理得，从而，化简得，解得，于是直线AC的方程为，故直线AC过定点同理可得DB过定点，直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为22. 解：函数在处取得极值1，且，令，则，为增函数，即；不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立令，则，令，则，在上单调递增，且，有唯一零点，且当时，单调递减；当时，单调递增，由整理得，令，则方程等价于，而在上恒大于零，在上单调递增，实数a的取值范围为