1、吉林省长春市第二十九中学2020-2021学年高二数学下学期期中理试题（含解析）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1.命题“ ”的否定是（ ） A.B.C.D.2.方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ） A.B.C.D. 或 3.曲线 在点 处的切线的倾斜角 为( ) A.B.C.D.4.已知函数 ,那么（ ） A. 有极小值,也有大极值B. 有极小值,没有极大值C. 有极大值,没有极小值D. 没有极值5.已知An2=132，则n=（）A.11B.12C.13D.146.在 的二项式展开式中，常数项为( ) A.160B.-160C.60D.=607.四个同学排成一排，甲只能排两端
2、，共有多少种不同的排法？( ) A.6B.12 C.24 D.308.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为( ) A.B.C.D.9.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为 和 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.B.C.D.10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论： 他第3次击中目标的概率是0.9;他恰好击中目标3次的概率是 ；他至少击中目标1次的概率是 ;他恰好有连续2次击中目标的概率为 ;其中
3、正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.11.已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A.B.C.D.12.已知曲线 和曲线 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( ) A.1B.C.D.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13.设 ，且 ，则 _. 14.已知随机变量X服从正态分布 ， 若 ，则 _. 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种.(用数字填写答案) 16.若 ，则 _. 三、解答题（共65分）17.已知命题 ，命题 关于x的方程 有实数根. （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （2）若 为真命
4、题， 为真命题，求实数a的取值范围. 18.已知函数 ， （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在 上的最大值和最小值 19.已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直 （1）求实数a，b的值； （2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围 20.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表
5、： 平均每周进行长跑训练天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”附： （n为样本容量）P（k2k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表的数据，填写下列 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉
6、松”与性别有关？ 热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计21.老师要从7道数学题中随机抽取3道考查学生,规定至少能做出2道即合格,某同学只会做其中的5道题 （1）求该同学合格的概率. （2）用X表示抽到的3道题中会做的题目数量,求X分布列及其期望. 四、延展题（5分）（共1题；共5分）22.已知函数 .若 没有零点,则实数 的取值范围是_ 答案解析部分一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1.命题“ ”的否定是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】命题的否定 【解析】【解答】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题： ， 的否定是： ， .故答案为：C 【分析】 根据特称命
7、题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可。2.方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ） A.B.C.D. 或 【答案】 C 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】 时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则 ；若方程有两个负的实根，则必有 若 时，可得 也适合题意综上知，若方程至少有一个负实根，则 反之，若 ，则方程至少有一个负的实根，因此，关于 的方程 至少有一负的实根的充要条件是 故答案为：C【分析】分a为0和a不为0进行讨论，结合根的个数和关系，即可得出答案。3.曲线 在点 处的切线的倾斜角 为( ) A.B.C.D.【答案】 D 【考点】导数的几何意义 【解析】【解答】
8、解：由题意得f(x)=x2-2，则在点 处的切线的斜率k=f(1)=-1，则倾斜角. 故答案为：D 【分析】由导数的几何意义直接求解即可.4.已知函数 ,那么（ ） A. 有极小值,也有大极值B. 有极小值,没有极大值C. 有极大值,没有极小值D. 没有极值【答案】 C 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：由题意得 ， 则由f(x)0得x3，由f(x)3，所以f(x)在（-，3）上单调递增，在（3，+）上单调递减，故f(x)有极大值，没有极小值. 故答案为：C 【分析】由导数研究函数的单调性和极值直接求解即可5.已知An2=132，则n=（）A.11B
9、.12C.13D.14【答案】 B 【考点】排列及排列数公式 【解析】【解答】=132，n（n1）=132，整理，得，n2n132=0；解得n=12，或n=11（不合题意，舍去）；n的值为12故选：B【分析】根据排列数的公式，列出方程，求出n的值即可。6.在 的二项式展开式中，常数项为( ) A.160B.-160C.60D.=60【答案】 B 【考点】二项式定理，二项式定理的应用 【解析】【解答】解：由题意得二项式展开式的通项公式为 ， 当2k-6=0，即k=3时，常数项为. 故答案为：B 【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可7.四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？(
10、) A.6B.12 C.24 D.30【答案】 B 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：由题意得，先排甲以外的三个同学，共有种排法，再利用插空法知甲有种排法，则共有=12种不同的排法. 故答案为：B 【分析】本题主要考查排列与组合问题，利用插空法直接求解即可.8.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为( ) A.B.C.D.【答案】 B 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解：由二项分布得 ， 故答案为：B 【分析】由二项分布直接求解即可.9.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为
11、 和 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.B.C.D.【答案】 D 【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】解：分别记 甲、乙荣获一等奖为事件A，B，则A，B相互独立，且 ， 则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率. 故答案为：D 【分析】根据相互独立事件的概率求法直接求解即可.10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论： 他第3次击中目标的概率是0.9;他恰好击中目标3次的概率是 ；他至少击中目标1次的概率是 ;他恰好有连续2次击
12、中目标的概率为 ;其中正确结论的序号是（ ）A.B.C.D.【答案】 B 【考点】互斥事件与对立事件，古典概型及其概率计算公式，二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解：对于，由题意易知，4次射击是相互之间没有影响，故正确； 对于，由二项分布得恰好击中目标3次的概率是 ， 故错误； 对于，“至少击中目标1次”的对立事件为“4次射击都没射中”，故所求概率为 ，故正确； 对于，由题意知“恰好有连续2次击中目标的概率为” ， 故错误. 故答案为：B 【分析】根据事件的概率可判断，根据二项分布可判断，根据对立事件的概率可判断，根据事件的概率可判断.11.已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数
13、 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】 B 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题“ ，使 ”是假命题，所以 恒成立，所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 故答案为：B【分析】原命题等价于 恒成立，故 即可，解出不等式即可.12.已知曲线 和曲线 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( ) A.1B.C.D.【答案】 D 【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】解：由解得 ， 则由微积分定理得面积 故答案为：D 【分析】由微积分定理直接求解即可.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13.设 ，且 ，则 _. 【答案】 1 【考点】导数的运算 【解析】【解答
14、】因为 ， 且 所以 ， ， 解得 ， 则 ， 故答案为：1. 【分析】利用导数的运算法则结合已知条件，从而建立关于a,b的方程组，再利用解二元一次方程组的方法，从而求出a,b的值，即可求出a+b的值。14.已知随机变量X服从正态分布 ， 若 ，则 _. 【答案】 0.954 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】解：由题意得E(x)=0，则由正态分布得P(-2X2)=1-2P(X2)=1-20.023=0.954 故答案为：0.954 【分析】由正态分布直接求解即可.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种.(用数字填
15、写答案) 【答案】 16 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，从6名学生中任意选3人有 种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，故答案为：16.【分析】由至少有女生不入选,分成1女2男和3男两类,由组合数公式求选法种数.16.若 ，则 _. 【答案】 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型 【解析】【解答】解：由题意结合二项分布得P(X4)=P(X=4)+P(X=5)= 故答案为： 【分析】由二项分布直接求解即可.三、解答题（共65分）17.已知命题 ，命题 关于x的方程 有实数根. （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （
16、2）若 为真命题， 为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）解： 方程 有实数根，得： 命题q：=1-4a0，解得：（2）解：因为 为真命题， 为真命题 所以，p为真命题，q为假命题，即 解得：【考点】复合命题的真假，命题的真假判断与应用，一元二次方程 【解析】【分析】（1）根据q为真命题，结合一元二次方程判别式的符号与根的个数的关系直接求解即可； （2）根据复合命题的真假规律可判断p真q假，再结合题意列出关于a的不等式组求解即可.18.已知函数 ， （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在 上的最大值和最小值 【答案】 （1）解：因为 ，所以 由 得 或 故函数 的单调递增区
17、间为 ； 由 得 ，故函数 的单调递减区间为 （2）解：令 得 由（1）可知，在 上 有极小值 而 ，因为 所以 在 上的最大值为4，最小值为 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可； （2）利用导数研究函数的极值以及函数在闭区间上的最值即可.19.已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直 （1）求实数a，b的值； （2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围 【答案】 （1）解：f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），a+b=
18、4式 （1分）f（x）=3ax2+2bx，则f（1）=3a+2b由条件 式由式解得a=1，b=3（2）解：f（x）=x3+3x2 ， f（x）=3x2+6x，令f（x）=3x2+6x0得x0或x2，函数f（x）在区间m，m+1上单调递增m，m+1（，20，+）m0或m+12m0或m3【考点】导数的几何意义，函数的单调性与导数的关系 【解析】【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函数的单调递增区间，据题
19、意知m，m+1（，20，+），列出端点的大小，求出m的范围20.随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”附： （n为样本容量）P（k2k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.02
20、50.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； （2）根据上表的数据，填写下列 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计【答案】 （1）解：设事件A:热烈参与者，x为3万人中热烈参与者的人数 则 所以 人（2）解： 热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200 所以热烈参与马拉松”与性别有关。【
21、考点】独立性检验，独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（1）根据古典概型的求法，结合题意直接求解即可； （2）利用22列联表 ，根据独立性检验的求法直接求解.21.老师要从7道数学题中随机抽取3道考查学生,规定至少能做出2道即合格,某同学只会做其中的5道题 （1）求该同学合格的概率. （2）用X表示抽到的3道题中会做的题目数量,求X分布列及其期望. 【答案】 （1）解：解: 设“该同学成绩合格”为事件A （2）解： 可能取的不同值为 当 时 当 时 当 时 X的分布列为X123P【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列 【解析】【分析】（1）根据古典概
22、型的定义以及求法直接求解即可； （2）根据题意，利用古典概型求得概率，列出离散型随机变量X的分布列，求得期望.四、延展题（5分）22.已知函数 .若 没有零点,则实数 的取值范围是_ 【答案】 0,e) 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：由题意得f(x)没有零点，等价于无根，即无根， 令 ， 故函数g(x)与h(x)无交点， 又(x0)，当x(-,0)(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增，且当x(-,0)时，g(x)0，故g(x)极小值=g(1)=e，无极大值，其图象如图所示， 则0ae 故答案为：0，e) 【分析】利用等价转化法，由函数没有零点，等价于函数g(x)与h(x)无交点，利用导数g(x)研究函数g(x)的单调性与极值，数形结合即可求得a的取值范围.