1、2005年大连市高三第一次模拟考试数 学 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率： 球的表面积公式：，其中R表示球的半径 球的体积公式：，其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. （ ） A. B. C. D. 2 2. 函数的反函数图象是（ ） 3. 若二项式的展开式的第5项是常数项，则正整数n的值为（ ） A. 15B. 12C. 10D. 6 4. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示
2、，则新生婴儿的体重在2700，3000的频率为（ ） A. 0.001B. 0.3C. 0.01D. 0.003 5. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中正确的个数为（ ） （1）；（2）；（3）； （4） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（ ） A. 48B. 47C. 46D. 45 8. 设是椭圆C：的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为（ ） A. 4B. 3C. 2D. 0 9. ABCD是空间四边形，已知ABCD，ADBC，但ABAD，M、N为两对角线AC、BD的中点，则（ ）
3、 A. MN与AC垂直，MN与BD不垂直 B. MN与BD垂直，MN与AC不垂直 C. MN与AC、BD都不垂直 D. MN与AC、BD都垂直 10. 设均是定义在R上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 空间有8个点，其中任何四点不共面，则经过每两点的所有直线中异面直线的对数为（ ） A. 420B. 210C. 70D. 35 12. 给出下列命题： （1），则； （2）奇函数的图象必过原点； （3）与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线上； （4）若等差数列的公差小于0，则其前n项和一定有最大值。 则正确的命题为（ ） A. （1）（3）（4）B.
4、 （1）（4） C. （2）（3）（4）D. （1）（2）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 设，则不等式的解集是_。 14. 在正三棱锥PABC中，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AEF侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为_。 15. 的值为_。 16. 已知数列为等差数列，则有，。对于，类似的结论为_。三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分） 有一批数量很大的产品，其次品率为10%。对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽
5、查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过5次。 （I）写出抽查次数的概率分布列； （2）求抽查次数的数学期望。 18. （本小题满分12分） 在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若满足，求A、B、C的值。 19. （本小题满分12分） 如图，直四棱柱ABCD，底面是边长为a的菱形，且ABC60，E为CD的中点，O为AC1的中点。 （I）求证：OE面； （II）求二面角ABOD的大小。 20. （本小题满分12分） 已知，求函数的单调区间。 21. （本小题满分14分） 已知函数的图象过点 （I）求函数的反函数的解析式； （II）记，是否存在正数k，使得对均成立。若存在，求出k的
6、最大值；若不存在，请说明理由。 22. （本小题满分12分） 如图，椭圆两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点的最近距离为。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过D（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设，求的取值范围。【试题答案】一. 选择题。 1. B2. C3. B4. B5. D6. B 7. C8. C9. D10. C11. B12. B二. 填空题。 13. 14. 15. 16. 三. 解答题。 17. 解：取出次品的概率是，取出正品的概率为，抽查次数的概率分布如下： （I）12345P6分 （II）8分 12分 18. 解：由题知
7、： 由正弦定理，有2分 余切化弦有：4分 通分后， ，又6分 8分 展开化简得： 10分 又11分 综上：12分 19. 解：（I）连结交于F，连结OF 2分 OFCE且OFCE OFCE为平行四边形 OECF4分 面面6分 （II）连结BD，AC交于G，连OG，则OG OG面ABCD 面ODB面DAB 又AGBD，AG面BOD 作AKBO，K是垂足，连GK，则GKOB。（三垂线定理的逆定理） 则AKG是所求二面角的平面角8分 在中，求出10分 即二面角ABOD的大小为12分 20. 解： 2分 （I）当时，若，若 所以当时，在内为减函数，在内为增函数4分 （II）当时， 由，解得或 由，解得 所以当时，在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数8分 （III）当时，由，解得 由，解得：或 所以当时，在内为减函数，在内为增函数，在为减函数12分 21. 解：（I）由题知2分 3分 求出：5分 （II）6分 假设存在k，使对成立 则8分 记 则10分 随n增大而增大 的最小值12分 ，即k的最大值为14分 22. 解：设椭圆方程为 （I）由题知2分 椭圆方程为3分 （II）若直线斜率k存在，设，直线方程与椭圆的方程联立 有 若有两个交点，则 5分 设，则 同号且 7分 而9分 由： 10分 综合、： 当k不存在时，11分 综上，满足题意的的取值范围为12分