1、2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学考试数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为MN=x|xM且xN，则M（MN）等于（）ANBMNCMNDM2已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x（2，0）时，f（x）=x2，则当x2，3时，函数f（x）的解析式为（）Ax24Bx2+4C（x+4）2D（x4）23已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A3BC1D24计算log2sin+log2cos的值为（）A4B4C2D25若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcab
2、Dbca6奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D17如图，在ABC中，ADAB，BC=BD，AD=1，则等于（）ABCD8已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5若存在两项am，an使得，则的最小值为（）ABCD9已知各项不为0的等差数列an满足a42a72+3a8=0，数列bn是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A1B2C4D810如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A3B4C5D811函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得
3、图象对应的函数解析式为（）Af（x）=sin2xBf（x）=sin2xCf（x）=sin（2x）Df（x）=sin（2x+）12函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A3B4C5D无数二、填空题（20分，每题5分）13采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为14设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为15向量，若与的夹角等于，则|的最大值为
4、16给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；（4）若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，则ABC为正三角形，以上正确命题的是三、解答题：17设函数f（x）=x2+|x2|1，xR（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值18已知在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=（）求角B的大小；（）若+=3，求sinAsinC的值19设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，
5、1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率20已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立（）求a1，a2的值；（）设a10，数列lg的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值21已知数列an满足a1=1，|an+1an|=pn，nN*（）若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（）若p=，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式2015-2016学年安徽省合肥一六八中
6、高二（上）开学考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为MN=x|xM且xN，则M（MN）等于（）ANBMNCMNDM【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可【解答】解：MN=x|xM且xN是指图（1）中的阴影部分同样M（MN）是指图（2）中的阴影部分即MN，如果N为M的真子集，则M（MN）=N；若M与N的Venn图互不相交，则M（MN）=M故选B【点评】对新定义问题，正确理解定义是解题的关键2已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x（2，0）时，f（
7、x）=x2，则当x2，3时，函数f（x）的解析式为（）Ax24Bx2+4C（x+4）2D（x4）2【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性【专题】计算题【分析】根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把2，3的函数值变形到（2，0）上来求【解答】解：f（x）=f（x+2），f（x）是周期为2的周期函数，当x（2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x2，3时，f（x）=f（x4）=（x4）2故选D【点评】本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容3已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A3BC1D2【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】计算题【
8、分析】先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log231），再判定log231的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可【解答】解：2=log24log23log22=1f（log23）=f（log231）而log2311f（log23）=f（log231）=3=故选B【点评】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题4计算log2sin+log2cos的值为（）A4B4C2D2【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】由于=可得原式=，即可得出【解答】解： =22原式=2故选：D【点评】本题考查了倍角公
9、式、对数函数的运算性质，属于基础题5若a=20.5，b=log3，c=log2sin，则（）AabcBbacCcabDbca【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0【解答】解：，由指对函数的图象可知：a1，0b1，c0，故选A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题6奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A2B1C0D1【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论【解答】解：f（x+2）为偶函数，f（x）
10、是奇函数，设g（x）=f（x+2），则g（x）=g（x），即f（x+2）=f（x+2），f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2），即f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键7如图，在ABC中，ADAB，BC=BD，AD=1，则等于（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量
11、积即可【解答】解： =cosDAC，|=1，=cosDAC=|cosDAC，BAC=+DAC，cosDAC=sinBAC，=cosDAC=|cosDAC=|sinBAC，在ABC中，由正弦定理得=变形得|AC|sinBAC=|BC|sinB，=cosDAC=|cosDAC=|sinBAC，=|BC|sinB=|BC|=，故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5若存在两项am，an使得，则的最小值为（）ABCD【考点】等比数列的性质【专题
12、】综合题；等差数列与等比数列【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值【解答】解：设等比数列的公比为q（q0），则a7=a6+2a5，a5q2=a5q+2a5，q2q2=0，q=2，存在两项am，an使得，aman=16a12，qm+n2=16，m+n=6=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时， =；m=2，n=4时， =的最小值为，故选B【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和9已知各
13、项不为0的等差数列an满足a42a72+3a8=0，数列bn是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A1B2C4D8【考点】等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案【解答】解：数列an是各项不为0的等差数列，由a42+3a8=0，得，解得：a7=2则b7=a7=2又数列bn是等比数列，则b2b8b11=故选：D【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题10如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A3B4C5D8【考点】循环结构【专题】计算题【分析】列出循环中x，y的对应关
14、系，不满足判断框结束循环，推出结果【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x1248y1234当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4故选B【点评】本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力11函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）Af（x）=sin2xBf（x）=sin2xCf（x）=sin（2x）Df（x）=sin（2x+）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】依题意，知A=1，T=，从而可求=2；再由+=2k+
15、（kZ），|可求得，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=Asin（x+）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式【解答】解：依题意，知A=1， T=，T=，=2；又+=2k+（kZ），=2k+（kZ），又|，=，f（x）=sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个长度单位，得y=f（x）=sin2（x）+=sin（2x），故选：C【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题12函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A3B4C5D无数【考点】奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式
16、求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质【专题】作图题；函数的性质及应用【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（x）=f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解【解答】解：当x0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=cos，x0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg111，y=cos=1，x0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B【点评】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力二、填空题（20分，每题5分）13采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在
17、第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为10【考点】系统抽样方法【专题】概率与统计【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21，由45130n21750 求得正整数n的个数，即为所求【解答】解：由96032=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21由 45130n21750 解得 15
18、.7n25.7再由n为正整数可得 16n25，且 nz，故做问卷B的人数为10，故答案为：10【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题14设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为7【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+23=1+6=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用
19、数形结合是解决线性规划题目的常用方法15向量，若与的夹角等于，则|的最大值为4【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得|的最大值【解答】解：如图，设=， =，则=，与的夹角等于，即OBA=60，再设|=a，|=x，在OAB中，根据余弦定理有：22=a2+x22axcos，整理得：x2ax+a24=0，由（a）24（a24）0，得：a216，所以0a4所以|的最大值为4【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考
20、查了数形结合思想，是中档题16给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；（4）若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，则ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）【考点】正弦定理【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B（0，），可得2A=2B，或2A+2B=，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B（0，），可得A=B，或A+B=，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+si
21、n2C2，利用倍角公式可得： +2，化为cos2A+cos2B+cos2C1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC0，即可判断出正误；（4）由cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，利用余弦函数的值域，可得AB=BC=CA=0，即可判断出正误【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，A，B（0，），2A=2B，或2A+2B=，解得A=B，或A+B=，则ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，A，B（0，），A=B，或A+B=，解得A+B=或，则ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）sin2A+sin2B+sin2C2， +
22、2，化为cos2A+cos2B+cos2C1，2cos2A+2cos（B+C）cos（BC）0，cosAcos（B+C）cos（BC）0，cosAcosBcosC0，因此ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（AB）cos（BC）cos（CA）=1，cos（AB）（1，1，cos（BC）（1，1，cos（CA）（1，1，可知：只有三个都等于1，又A，B，C（0，），AB=BC=CA=0，A=B=C，则ABC为正三角形，正确以上正确的命题是：（3）（4）故答案为：（3）（4）【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三
23、、解答题：17设函数f（x）=x2+|x2|1，xR（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义【分析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值【解答】解：（1）f（x）=若f（x）奇函数，则f（x）=f（x）所以f（0）=f（0），即f（0）=0f（0）=10，f（x）不是R上的奇函数又f（1）=1，f（1）=3，f（1）f（1），f（x）不是偶函数故f（x）是非奇非偶的函数（2）当x2时，f（x）=x2+x3，为二次函数，对称轴为直
24、线x=，则f（x）为2，+）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3当x2时，f（x）=x2x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（，）上为减函数，在，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=综上，f（x）min=【点评】函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步18已知在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=（）求角B的大小；（）若+=3，求sinAsinC的值【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理【专题
25、】三角函数的求值【分析】（）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出siniAsinC的值【解答】解：（）已知等式变形得： +=，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，sinC0，cosB=，则B=60；（）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，cosB=，a2+c2=3ac，b2=a2+c22accosB=2ac，由正弦定理得：s
26、in2B=2sinAsinC=，则sinAsinC=【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键19设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型【专题】计算题【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列
27、举的基础上得到结果数，求得概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=（2）由题意知本题是一个几何概型，试验
28、的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点20已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立（）求a1，a2的值；（）设a10，数列lg的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和【专题】计算题【分析】（）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a20，分别可求
29、a1，a2（）由a10，令，可知=，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解：（）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2当n=2时，得得，a2（a2a1）=a2若a2=0，则由知a1=0，若a20，则a2a1=1联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（）当a10，由（）可得当n2时，（n2）=令由（）可知=bn是单调递减的等差数列，公差为lg2b1b2b7=当n8时，数列的前7项和最大， =7【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力21已知数列an满足a1=1，|an+1an|=pn，nN*
30、（）若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（）若p=，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“an是递增数列”对求出的p的值取舍；（）根据数列的单调性和式子“|an+1an|=pn”、不等式的可加性，求出和a2n+1a2n=，再对数列an的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列an的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来【解答】解：（）数列a
31、n是递增数列，an+1an0，则|an+1an|=pn化为：an+1an=pn，分别令n=1，2可得，a2a1=p，即a2=1+p，a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2p=0，解得或0，当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列an是递增数列，；（2）由题意可得，|an+1an|=，则|a2na2n1|=，|a2n+2a2n+1|=，数列a2n1是递增数列，且a2n是递减数列，a2n+1a2n10，且a2n+2a2n0，则（a2n+2a2n）0，两不等式相加得a2n+1a2n1（a2n+2a2n）0，即a2n+1a2n+2a
32、2n1a2n，又|a2na2n1|=|a2n+2a2n+1|=，a2na2n10，即，同理可得：a2n+3a2n+2a2n+1a2n，即|a2n+3a2n+2|a2n+1a2n|，则a2n+1a2n=当数列an的项数为偶数时，令n=2m（mN*），这2m1个等式相加可得， =，则；当数列an的项数为奇数时，令n=2m+1（mN*），这2m个等式相加可得，+=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大