1、四川省仁寿第一中学校南校区2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一.单项选择题(每题5分，共60分)1.数列1，3，5，7，的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据1，3，5，7，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式.【详解】因为所以.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.设、且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误，利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，进而可得出正确选项.【详解】对于A选项，当时，
2、A选项错误；对于B选项，取，则，B选项错误；对于C选项，则、中至少有一个不为零，所以，则，所以，即，C选项正确；对于D选项，取，则，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查代数式的大小比较，一般利用不等式的基本性质、作差（商）法、特殊值法来比较，考查推理能力，属于基础题.3.化简的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数式的结构，利用两角差的正弦公式求解.【详解】.故选：B【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.在中，则等于（ ）A. 或B. C. D. 以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】在中，根据正弦定理得到 ，
3、再根据，确定角B.【详解】在中，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 7B. 14C. 33D. 42【答案】C【解析】【分析】根据，利用等差数列的性质得到，再代入求解.【详解】等差数列中，因为，所以，即，所以.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.已知数列满足：，则（ ）A. B. 3C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据，变形为，得到是等差数列，再利用通项公式求解.也可递推.【详解】因为，所以，所以是
4、等差数列，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.已知，两地距离为2，两地距离为3，现测得，则，两地的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，两地距离为2， ，两地距离为3，得到，再有，利用余弦定理求解.【详解】因为，两地距离为2，所以，因为，两地距离为3，所以，又，由余弦定理得，解得.所以，两地的距离为.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设,根据是一个首项为a,公差
5、为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a.9.下列说法正确的是（ ）若，则为等腰三角形；若是正项等比数列，则是等差数列；若，则为等边三角形；常数列既是等差数列又是等比数列；A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，则有或判断.根据是正项等比数列，利用等差数列的定义判断.根据，由余弦函数的值域判断.举例常数列0，0，0，0，判断.【详解】若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；若是正项等比数列，则为常数，所以是等差数列，故正确；若，因，则，所以，所以为等边三角形，故正确；常数列0，0，0，0，是等差数列不是等比数列，故错误；故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假
6、判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10.正项等比数列满足，则（ ）A. 5B. 8C. 10D. 2+log45【答案】A【解析】【分析】根据正项等比数列满足，利用等比数列的性质得到，再根据对数的运算法则求解.【详解】因为正项等比数列满足，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质及对数的运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知等差数列的前项和为，若，则取何值时最大（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】已知等差数列的前项和为，根据，得到，再由前n和的定义得到结论.【详解】已知等差数列的前项和为，因为，所以，所以，所以时，最大.故选：C.
7、【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n和的最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知的内角，所对的边分别为，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）A. B. 6C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，利用正弦定理将角转化为边得到， 再由余弦定理球得，从而得到，再根据的面积为，利用正弦定理得到，然后利用基本不等式结合余弦定理，得到的周长的最小值.【详解】，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，所以，的面积为，解得，由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，的周长为，当且仅当时等号成立，即的周长的最小值为6.故选：B.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及基本不等式的应用，还考查
8、了运算求解的能力，属于中档题.二.填空题(每题5分，共20分)13.已知，则_【答案】3【解析】【分析】根据，分子分母同除以，利用商数关系转化为关于的方程求解.【详解】因为，解得.故答案为：3【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】根据数列的通项公式和前n项和的关系，分当时和当时，两种情况讨论求解.【详解】当时，当时，因，不适合上式，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜
9、公式”，设的三个内角，的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为_.若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由余弦定理得，得到，代入求解.根据，利用正弦定理得到，再由得到，代入“三斜求积”公式求解.【详解】由余弦定理得，所以，所以.因为，所以，即，又因为，所以，.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据数列满足：， ，得到，根据等比数列的定义，得到数列是等比数列，从而求得，得到，然
10、后根据数列是单调递增数列，求解.【详解】已知数列满足： ,，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以，所以，解得，当时，解得，综上：实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等比数列的定义，数列的单调性，还考查了运算求解的能力，属于难题.三.解答题(共70分)17.中，分别为，对边，且，（1）求； （2）求的面积【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）先根据，得到，再由正弦定理求解.（2）直接利用正弦定理求解.【详解】（1）因为，所以，由，解得（2）.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于
11、基础题.18.（1）化简： （2）已知，求的值【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据，利用辅助角公式求解.（2）根据，得到，从而由，得到，然后利用角的变换求解.【详解】（1），.（2）因为，因为，.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知等差数列前项和满足：，（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和满足：，由求解.（2）由（1）得到：，然后用分组求和的方法求解.【详解】（1）由题意得，解得，（2）由（1）知：【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列分组求
12、和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知数列的前项和为，点在函数上，（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最大正整数.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据点在函数上，得到，然后利用数列的通项公式和前n项和的关系求解.（2）由（1）知：，然后利用裂项相消法求和，再根据对所有都成立，则即可.【详解】（1）因为点在函数上，所以，当时，当时，适合上式，所以.（2）由（1）知：，所以，单调递增，当时，因为对所有都成立，所以，解得 .【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和数列裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.设锐角三角
13、形的内角，的对边分别为（1）求B的大小；（2）求 的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）由，根据正弦定理得，所以，由ABC为锐角的三角形得（2）由ABC为锐角的三角形知，所以，由此有，所以，的取值范围为22.已知数列的前项和为，且时，数列满足，对任意，都有.（1）求数列，的通项公式；（2）令若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据，变形为，用累乘法求解，根据，且，利用等比中项得到数列是等比数列，求得通项.（2）用等差数列的前n项和公式求得，用错位相减法求得， 再根据不等式，对任意的恒成立，转化为恒成立，令求其最大值即可.【详解】（1）当时，即.，又，也满足上式，故数列的通项公式.由，且，知数列是等比数列，其首项公比均为，数列的通项公式，（2），由-，得，因为不等式，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，即恒成立.即恒成立，令.则，因为，所以单调递增且大于0，所以 单调递增，当时，且，故，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查数列累乘法，差数列的前n项和公式，等比数列的性质，错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.