1、第三节三角函数的图像与性质【考纲下载】1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRkZ 值域1,11,1R单调性递增区间：(kZ)；递减区间：(kZ)递增区间：2k，2k (kZ)；递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ) 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k，0)(kZ
2、)对称轴：xk，kZ对称中心：(kZ)对称轴：xk，kZ对称中心：(kZ)无对称轴周期221正切函数ytan x在定义域内是增函数吗？提示：不是正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数2当函数yAsin(x)分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么？对于函数yAcos(x)呢？提示：函数yAsin(x)，当k(kZ)时是奇函数，当k(kZ)时是偶函数；函数yAcos(x)，当k(kZ)时是偶函数，当k(kZ)时是奇函数1函数ytan 3x的定义域为()A. B.C. D.解析：选D由3xk，得x，kZ.2设函数f(x)sin，xR，则f(x)是(
3、)A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：选Bf(x)sincos 2x，f(x)是最小正周期为的偶函数3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图像()A关于直线x对称B关于点对称C关于直线x对称 D关于点对称解析：选Bf(x)sin(0)的最小正周期为，2，即f(x)sin.经验证可知fsinsin 0，即是函数f(x)的一个对称点4下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析：选A由函数的周期为，可排除C，D.又函数在上为减函数，排除B，故选A.5函数y32cos的最大值为_
4、，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)考点一三角函数的定义域和值域 例1(1)求函数ylg(sin 2x)的定义域；(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值自主解答(1)由得3x或0x.函数ylg(sin 2x)的定义域为.(2)令tsin x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymax，t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.【方法规律】1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)
5、常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)(2013陕西高考)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xco
6、s 2xcossin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，故f(x)的最小值为.因此，f(x)在上的最大值为1，最小值为.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性 例2(1)(2013浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012福建高考)函数f(x)sin的图像的一条对称轴是()Ax Bx
7、Cx Dx(3)(2013江西高考)函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_自主解答(1)f(x)是奇函数时，k(kZ)；时，f(x)AcosAsin x，为奇函数所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件(2)法一：(图像特征)正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令xk，kZ，则xk，kZ.取k1，则x.法二：(验证法)x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin，不合题意，排除D；而x时，ysin1，符合题意，C项正确，故选C.(3)ysin 2x(1cos 2x)2sin，最小正周期T.答案(1)B(2)C(3)【互动探究】本
8、例(2)中函数f(x)的对称中心是什么？解：令xk，kZ，则xk，kZ.故函数f(x)sin的对称中心为(kZ) 【方法规律】函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断1函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.解析：由ysin x的对称轴为xk(kZ)，
9、即3k(kZ)，得k(kZ)又|，所以k0，故.答案：2函数ycos(3x)的图像关于原点成中心对称图形，则_.解析：由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k(kZ)答案：k(kZ)高频考点考点三 三角函数的单调性1三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题2高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)例3(1)(2012新课标全国卷)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2(2)(2013安徽高考
10、)已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.求的值；讨论f(x)在区间上的单调性自主解答(1)由x，得x，由题意知(kZ)且2，则且02，故.(2)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.由知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减答案(1)A三角函数单调性问题的常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简
11、，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化为yAsin(x)b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决1若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A3 B2 C. D.解析：选Cysin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增
12、函数；当x，即x时，ysin x是减函数由ysin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，故.2求函数ytan的单调区间解：把函数ytan变为ytan.由k2xk，kZ，得k2xk，kZ，即x，kZ.故函数ytan的单调减区间为(kZ)课堂归纳通法领悟2个性质周期性与奇偶性(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式3种方法求三角函数值域(或最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性(2)形式复杂的函数应化为yAsin
13、(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题4个注意点研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图像从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin
14、x，则y(t2)211，解法错误 方法博览(三)利用三角函数的性质求参数的四种方法1根据三角函数的奇偶性求参数典例1已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x)为偶函数，则的值为_解题指导先求出f(x)的解析式，然后求解解析f(x)sin xcos x2sin，f(x)2sin.函数f(x)为偶函数，k，kZ，即k(kZ)又|，.答案点评求解三角函数奇偶性的参数问题常用下列结论进行解答：函数yAcos(x)B(A0)为奇函数k(kZ)且B0；为偶函数k(kZ)2根据三角函数的单调性求参数典例2已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若是f(x)的一个单调递增区间，则的取值范围为()
15、A.B.C. D.解题指导求三角函数的单调区间，先求出已知函数的单调递增区间，使为其子区间即可求得的范围解析因为2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，又因为是f(x)的一个单调递增区间，|，所以k，kZ，解得，同理由k，kZ，可得，所以.答案C点评解答此类题要注意单调区间的给出方式，如：“函数f(x)在(kZ)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为(kZ)”，二者是不相同的3根据三角函数的周期性求参数典例3函数f(x)sinsin x(0)相邻两对称轴之间的距离为2，则_.解题指导相邻两对称轴之间的距离为2，即T4.解析f(x)sinsin xsin xcos xsin xsin xco
16、s xsin，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T4，所以4，即.答案点评函数f(x)Asin(x)，f(x)Acos(x)图像上一个最高点和它邻近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图像确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图像显示出来的函数性质、函数图像上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等4根据三角函数的最值求参数典例4若函数f(x)asin xbcos x在x处有最小值2，则常数a，b的值是()Aa1，bBa1，bCa，b1 Da，b1解题指导函数f(x)asin xbcos x的最小值为.解析f(x)sin(x)其中c
17、os ，sin ，则解得答案D点评解答本题的两个关键：(1)引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；(2)利用正弦函数取最值的方法建立方程组全盘巩固1给定性质：最小正周期为；图像关于直线x对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是()Aysin BysinCysin Dysin|x|解析：选B注意到函数ysin的最小正周期T，当x时，ysin1，因此该函数同时具有性质.2函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1解析：选A0x9，0x，x，sin1，即2sin2.所以其最大值为2，最小值为，故最大值与最小值之和为2.3已知函数ysin x的定义域为a，b，值域为，
18、则ba的值不可能是()A. B. C D.解析：选A画出函数ysin x的草图分析知ba的取值范围为.4(2014丽水模拟)函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图像是()ABCD解析：选Dytan xsin x|tan xsin x|故选D.5(2014福州模拟)若函数y2cos x在区间上递减，且有最小值1，则的值可以是()A2 B. C3 D.解析：选B由y2cos x在上是递减的，且有最小值为1，则有f1，即2cos1，即cos .经验证，得出选项B符合6已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则(
19、)Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x)在区间4，6上是减函数解析：选Af(x)的最小正周期为6，.当x时，f(x)有最大值，2k(kZ)，2k(kZ)，.f(x)2sin，由函数f(x)的图像(图略)易得，函数f(x)在区间2，0上是增函数，而在区间3，或3，5上均没单调性，在区间4，6上是增函数7已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f等于_解析：ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴f2.答案：2或28已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，则f(x)的值域是_解析：f(
20、x)(sin xcos x)|sin xcos x|画出函数f(x)的图像(实线)，如图，可得函数的最小值为1，最大值为，故值域为.答案：9已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间上是增函数；f(x)的图像关于直线x对称其中真命题的是_解析：f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x时，2x，故是真命题；因为fsin ，故f(x)的图像关于直线x对称，故是真命题答案：10函数f(x)Asin1(A0，0)的最大值
21、为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值解：(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2.函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T，2，函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f2sin12，sin.0，0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1.于是sin.从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为.12已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，2cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图像
22、关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图像的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图像过点，得f0，即2sin2sin，故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函数f(x)在上的取值范围为1，2 冲击名校1已知函数f(x)2sin x在区间上的最小值为2，则的取值范围是
23、()A.6，)B.C(，26，)D(，2解析：选D当0时，由x，得x，由题意知，；当0时，由x，得x，由题意知，2，综上可知，(，2.2设函数f(x)sin(x)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图像关于直线x成轴对称图形；它的图像关于点成中心对称图形；在区间上是增函数以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可)解析：若成立，则2；令2k，kZ，且|，故k0，则.此时f(x)sin，当x时，sinsin 0，所以f(x)的图像关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，则f(x)在上也是增函数，因此.用类似的分析可求得.答案：或高频滚动1已知sin ，sin cos 1，则cos ()ABC D.解析：选A由(sin cos )212sin cos 1，可得sin cos 0，又因为sin 0，所以cos 0，即cos .2在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角解：由已知得22得2cos2A1，即cos A或cos A.(1)当cos A时，cos B，又A，B是ABC的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B.又A，B是ABC的内角，A，B，不合题意综上可知，A，B，C.
