1、绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第2224题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域(黑
2、色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。4保持卡面清洁，不折叠，不破损。5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合，则=A. B. C. D. 【知识点】集合的运算【试题解析】因为，所以所以故答案为：B【答案】B2复数的虚部是AiB-iC1D-1【知识点】复数综合运算【试题解析】因为=所以虚部是1故答案为：C【答案】C3在等比数列中，若，则该数列前五项的积为A3B3C1D1【知识点】等比数列【试题解析】因为，所以故答案为：D【答案】
3、D4某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A4 B8 C12 D24【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为底面积高所以故答案为：A【答案】A5二项式展开式中的常数项是A360B180C90D45【知识点】二项式定理与性质【试题解析】因为，令，得。所以常数项是故答案为：B【答案】B6在中，则=A-1B1CD-2【知识点】两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式输入a,b开始结束输出ab?输出是否【试题解析】因为所以故答案为：A【答案】A7若对任意非零实数，若的运算规则如右图的程序框图所示，则的值是A B C D9【知识点】分段函数，抽象函
4、数与复合函数算法和程序框图【试题解析】因为所以。故答案为：C【答案】C8函数满足，则的值为A B C D【知识点】函数的奇偶性诱导公式【试题解析】因为函数满足，所以为偶函数，令得此时为偶函数。所以故答案为：C【答案】C9一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为ABC D【知识点】随机变量的期望与方差均值定理【试题解析】因为由已知得所以所以故答案为：D【答案】D10双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为AB2 C D【知识点】导数的概念和几何意义双曲线【试题解析】因为求导得，设切点为，所以切线方程为，过原
5、点，所以得，。所以得故答案为：C【答案】C11已知函数定义在R上的奇函数，当时，给出下列命题：当时， 函数有2个零点的解集为 ，都有其中正确命题个数是123456789A1 B2 C3 D4【知识点】函数综合【试题解析】因为当时，可得；函数有-1，0，1三 个零点；的解集为；，都有所以，均不正确，正确。故答案为：B【答案】B12用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种A18 B36 C72 D108【知识点】排列组合综合应用【试题解析】因为故答案为：D【答案
6、】D第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为.【知识点】积分【试题解析】因为所求为所以故答案为：4-2ln2【答案】4-2ln214在中，角的对边分别为，若，则_【知识点】余弦定理【试题解析】因为所以故答案为：【答案】15在区间0,2上任取两个实数a,b，则函数f(x)=x3+ax-b在区间-1,1上有且只有一个零点的概率是.【知识点】线性规划利用导数研究函数的单调性零点与方程【试题解析】因为所以为使函数f(x)=x3+ax-b在区间-
7、1，1上有且只有一个零点，只需，所以故答案为：【答案】16已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，则此球的表面积等于_.【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为，取中点，则球心为中点，所以外接球半径故答案为：【答案】理科数学试卷 第3页(共6页) 理科数学试卷 第4页(共6页)三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且，（1）求与；（2）证明：【知识点】数列综合应用【试题解析】（1）设的公差为，因为所以解得或（舍），故，（2）因为，所以故因为，所以，于是，所以即【答
8、案】详见解析18.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好
9、的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150的学生人数为，求的分布列和数学期望.附：【知识点】概率综合【试题解析】（1）设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为所以视力在50以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在50以下的人数约为（2）因此在犯错误的概率不超过005的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人，可取0、1、2、3，的分布列为的数学期望【答案】详见解析19（本小题满分12分）如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，
10、BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图(2)所示(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值【知识点】立体几何综合【试题解析】(1)证明：在图(1)中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，BECD即在图(2)中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，OA1平面A1OC，OC平面A1OC，从而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1
11、BE C的平面角，所以A1OC如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B(，0，0)E(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，0)得(，0)，(0，)(，0，0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1，1，1)；得取n2(0，1，1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为【答案】详见解析20(本小题满分12分) 以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的
12、“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【知识点】椭圆【试题解析】（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组 代入消元得：由可得由得即， 所以此时成立，则原点到弦的距离，得原点到弦的距离为，则，故弦的长为定值【答案】详见解析21(本小题满分12分)已知函数(1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：为
13、自然对数的底数）.【知识点】导数的综合运用【试题解析】（1）是的一个极值点，则，验证知=0符合条件（2） 1）若=0时，单调递增，在单调递减； 2）若上单调递减 3）若 再令 在 综上所述，若上单调递减，若。若(3)由（2）知，当当、【答案】详见解析BACDEOF请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修41；几何证明选讲如图，AB是O的直径，C、F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D连接CF交AB于点E（1）求证：DE2=DBDA； （2）若DB=2，D
14、F=4，试求CE的长【知识点】几何选讲【试题解析】（1）证明：连接OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC因为COAB于O，所以OCF+CEO=90所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线，所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA（2）解：DF2=DBDA，DB=2，DF=4DA= 8， 从而AB=6， 则又由（1）可知，DE=DF=4，BE=2，OE=1从而 在中，【答案】详见解析23.（本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴
15、为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求PAB面积的最小值.【知识点】参数方程【试题解析】（1）由得消去参数t，得，所以圆C的普通方程为由，得，即，换成直角坐标系为，所以直线l的直角坐标方程为（2）化为直角坐标为在直线l上，并且，设P点的坐标为，则P点到直线l的距离为，所以面积的最小值是【答案】详见解析24（本小题满分10分）选修45；不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）已知，求证：恒成立.【知识点】绝对值不等式【试题解析】（1）解：，即，当时，不等式为，即，是不等式的解；当时，不等式为，即恒成立，是不等式的解；当时，不等式为，即，是不等式的解综上所述，不等式的解集为（2）证明：，恒成立【答案】详见解析