1、1(2014苏、锡、常、镇四市调研)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：(1)平面ABC平面ABC1；(2)EF平面BCC1B1；(3)FG平面AB1C1.证明：(1)ABBC，BCBC1，ABBC1B，BC平面ABC1.又BC平面ABC，平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中，E、F分别为AC1、A1C1的中点，EFAA1，几何体ABCA1B1C1为三棱柱，BB1AA1，EFBB1，BB1平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，EF平面BCC1B1.(3)在AA1C1中，E、F分别为AC1、A1
2、C1的中点，EFAA1，EFAA1.在三棱柱ABCA1B1C1中，G为BB1的中点，BGAA1，BGAA1，EFBG，且EFBG，连结BE，则四边形BEFG为平行四边形，FGEB.ABBC1，E为AC1的中点，BEAC1，则FGAC1.BCAB，BCBC1，B1C1BC，B1C1AB，B1C1BC1，又ABBC1B，B1C1平面ABC1.BE平面ABC1，B1C1BE，则B1C1FG，AC1B1C1C1，FG平面AB1C1.2已知四棱锥PABCD及其三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；(3)若点E为PC的
3、中点，求二面角DAEB的大小解：(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2，VPABCDS正方形ABCDPC122，即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BDAE.证明：连接AC，ABCD是正方形，BDAC，PC底面ABCD，且BD平面PAC.BDPC.又ACPCC，BD平面PAC.不论点E在何位置，都有AE平面PAC，不论点E在何位置，都有BDAE.(3)在平面DAE内，过点D作DFAE于F，连接BF.ADAB1，DEBE，AEAE，RtADERtABE，从而ADFABF，BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角在RtADE
4、中，DFBF，又BD，在DFB中，由余弦定理得cosDFB，DFB120，即二面角DAEB的大小为120.3在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB3，AD2，PA2，PD2，PAB60.(1)证明AD平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；(3)求二面角PBDA的正切值的大小解：(1)证明：在PAD中，由题设PA2，AD2，PD2，可得PA2AD2PD2，于是ADPA.在矩形ABCD中，ABAD，又PAABA，所以AD平面PAB.(2)由题设，BCAD，所以PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB，PB
5、平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故tanPCB.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为.(3)如图所示，过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连接PE.因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH.又ADABA，因而PH平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影，BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，PHPAsin 60，AHPAcos 601，BHABAH2，BD，由RtBEHRtBAD，得HEBH.于是在RtPHE中，tanPEH.所以二面角PBDA的正切值的大小为.4(2014广东珠海模拟)已知在四棱锥PABCD中
6、，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点(1)求证：AF平面PEC；(2)求二面角PECD的余弦值；(3)求点B到平面PEC的距离解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，E(1,0,0)，F，P(0,0,1)(1)证明：取PC的中点M，连结ME，则M，故.又EM平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)设平面PEC的一个法向量为m(x，y，z)，(1,0，1)，(1,1,0)，则可得令z1则m(1,1，1)，由(1)可得平面ABCD的一个法向量(0,0，1)，cos
7、m，.由题图易知二面角PECD的平面角为锐角，其余弦值等于.(3)点B到平面PCE的距离d，而(1,0,0)，故d.5如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E是棱PB的中点(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD，求二面角AECD的平面角的余弦值解：解法一：(1)如图所示，在矩形ABCD中，ADBC，从而AD平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离因为PA底面ABCD，故PAAB.由PAAB知PAB为等腰直角三角形又点E是棱PB的中点，故AEPB.又在矩形ABCD中，BCAB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线
8、定理得BCPB，从而BC平面PAB，故BCAE.从而AE平面PBC，故AE的长即为直线AD与平面PBC的距离在RtPAB中，PAAB，所以AEPB.(2)过点D作DFCE，交CE于F，过点F作FGCE，交AC于G，则DFG为所求的二面角的平面角由(1)知BC平面PAB，又ADBC，得AD平面PAB，故ADAE，从而DE.在RtCBE中，CE.由CD，知CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DFCDsin .因为AE平面PBC，故AECE.又FGCE，知FG綊AE，从而FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在RtADC中，DGAC.所以cosDFG.所以二面角AECD的平面角的余弦值为.解法二
9、：(1)如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E.因此，(0，a,0)，(，a，)，则0，0，所以AE平面PBC.又由ADBC知AD平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|.(2)因为|，则D(0，0)，C(，0)设平面AEC的法向量n1(x1，y1，z1)，则n10，n10.又(，0)，故所以y1x1，z1x1，可取x1，则n1(，2，)设平面DEC的法向量n2(x2，y2，z2)，则n20，n20.又(，0,0)，故所以x20，z2y2，可取y21，则n2(0,1，)故cosn1，n2所以二面角AECD的平面角的余弦值为.