1、第一章 解三角形 本章回顾1三角形中的边角关系设ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C.(1)三角形内角和定理ABC.(2)三角形中的诱导公式sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sin cos ，cos sin ，tan cot .(3)三角形中的边角关系abAB；abAB；abc，bca，cab.(4)三角形中几个常用结论在ABC中，abcos Cccos B(其余两个略)；在ABC中，sin Asin BAB；在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.2正弦定理(1)正弦定理在ABC中，角A，B，C的对边边长分
2、别为a，b，c，则2R.其中R是ABC外接圆半径(2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；sin Asin Bsin Cabc；，.3余弦定理(1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.(2)余弦定理的推论 cos A；cos B；cos C.4三角形的面积三角形面积公式Sahabhbchc；Sabsin Cacsin
3、 Bbcsin A；S(abc)r (r为ABC内切圆半径)；S(R为ABC外接圆半径)；S.5解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a
4、，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解.6已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在ABC中，以已知a，b，A为例判断方法如下表：A为锐角图形关系式absin Absin Aabababababab解个数一解无解一解无解一、构建方程(组)解三角问题例1如图所示，设P是正方形ABCD内部的一点，P到顶点A、B、C的距离分别是1,2,3，求正方形的边长解设边长为x，x0，在ABP中，cosABP，在CBP中，cosCBP，又cos2ABPcos2CBP1，221.x252或x252所以，x，即正方形的边长为.例2
5、如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分别是AMB30，ANB45，APB60，且MNPN500 m，求塔高AB.分析设ABh，则MB，NB，PB都可用h来表示，在底面BMP中，MNPN500 m，借助MNB与MPB，利用公共角PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解解设ABh，ABMB，ABNB，ABPB，又AMB30，ANB45，APB60，MBh，NBh，PBh.在MPB中，cosPMB.在MNB中，cosNMB.整理，得h250.塔高AB为250 m.二、构建目标函数解三角问题例3如图所示，已知O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC1，点P是O上半圆上的一个
6、动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧(1)若POB，试将四边形OPDC的面积y表示为关于的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值分析四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用OPOCsin 表示；而求PCD的面积关键在于求出边长PC，在POC中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决解(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OPOCcos 54cos ，所以ySOPCSPCD12sin (54cos )2sin.(2)当，即时，ymax2.答四边形OPDC面积的最大值为2.例4甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海
7、里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t的目标函数，注意到t2时，乙到达A处，此时，甲地、乙地、A地三处构不成三角形，要注意分类讨论如图所示：解设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时当0t2时，在APQ中，AP8t，AQ2010t，所以PQ 2.当t2时，在APQ中，AP8t，AQ10t20，PQ2.综合知，PQ2 (t0)当且仅当t时，PQ最小答甲、乙两船行驶小时后，相距最近三、利用等价转化思想解三角问
8、题例5在ABC中，已知，求证：ABC是等腰三角形或直角三角形分析从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定ABC为等腰三角形或直角三角形两种情况因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论证明应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：，再由余弦定理将其变形为：，整理得0.0或0，若0，则C90；若0，依据正弦定理得，即sin Bcos Bsin Ccos C所以sin 2Bsin 2C.所以2B2C或2B2C180，即BC或BC90.综上所述，ABC是等腰三角形或直角三角形例6在ABC中，角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若c2，a4，B45，求ABC的面积分析解决本题的
9、突破口是由c2联想到余弦定理，这就需要降次，自然就得进行等式的变形变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题解因为c2，所以变形得(ab)(a2b2c2ab)0.因为ab0，所以a2b2c2ab0，即a2b2c2ab.根据余弦定理的推论得cos C.又因为0C180，所以C60.因为B45，ABC180，所以A180(6045)75.根据正弦定理得，所以b124.根据三角形的面积公式得SABCabsin C4(124)3612.四、构建辅助圆解三角应用题例7(能力创新题)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻
10、测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45 且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由分析第(1)问实际上就是求BC长度，在ABC中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC与圆E是否有交点，因此可以构建辅助圆E来求解解(1)如图所示，AB40，AC10，BAC，sin .由于090，所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行驶速度为15(海里/小时)(2)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45)30，y2ACsinCAD10sin(45)20.所以过点B、C的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40.又点E(0，55)到直线l的距离d30，y0，z0，求证：.证明如图所示，构造四面体VABC，使AVBBVCCVA60，且VAx，VBy，VCz，由余弦定理得AB同理，BC，CA，在ABC中，由于ABBCCA，故有：.