1、专题26二元一次方程组与实际问题（二）【知识点总结】一、常见的一些等量关系（二）1. 行程问题速度时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.2存贷款问题 利息=本金利率期数.本息和（本利和）本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数) .年利率月利率12.月利率年利率.3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a4方案问题 在解决问题时，常常需合理安排需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方
2、案要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方
3、程并组成方程组.【精典例题】一、行程问题1、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出 (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解(1)“同时开出相向而行”可用下图表示“同时开出同向而行”可用下图表示(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来【答案与解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为x
4、千米/时和y千米/时根据题意，得，解得 答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得60(x+1)+100x480解得 答：快车开出小时两车相遇【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词2、两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？【答案】解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m由题意得，答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 3
5、6 km/h3、某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.【思路点拨】本题中的等量关系为：50（规定时间+）两地距离；75（规定时间）两地距离算出规定时间和两地距离后即可求得每小时多少千米的速度行驶可准时到达【答案与解析】解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得： 解得：答：甲乙两地间的距离为140千米.【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词4、已知一铁路桥长1000米，现有一列火
6、车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度【答案】解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m根据题意，得：解得: 答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m二、存贷款问题1、蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息6075元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x
7、，y元，根据题意得：解得：答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元【总结升华】利息贷款金额利息率.2、张叔叔10万元买一辆货车跑运输，年利率为5.49%，计划两年还清贷款和利息他用货车载货平均每月可赚运输费0.8万元，其中开支有两项：油费是运费收入的10%，修理费、养路费和交税是运费收入的20%，其余才是利润. 请你算一算，张叔叔跑2年的利润能否还清贷款和利息？【答案与解析】解：设 10万元贷款两年后的本息和为万元，而张叔叔跑2年的总利润为万元，则：解得 ， 能还清答：张叔叔跑2年的利润能还清贷款和利息【总结升华】本题也可以不用方程组，直接列出代数式求值，比较大小得答案三、数字问题1
8、、有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数【思路点拨】本题中的等量关系：个位上的数十位上的数5；原数+新数143【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：，解方程组，得故这个两位数为10y+x104+949答：这个两位数为49【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数十位数字10+个位数字；三位数百位数字100+十位数字10+个位数字2、小明和小亮做游戏，小明在一个
9、加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍两个等量关系为：10一个加数+另一个加数=242；一个加数+10另一个加数=341【答案与解析】解：设原来的两个数分别为和，则：，解得答：原来两个加数分别是21，32【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍四、方案选择问题1、聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示 类型价格A型B型进
10、价（元/盏）4065标价（元/盏）60100(1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗?(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏?【思路点拨】(1)两种灯的总数为50，两种灯的进货款总和为2500元，列出二元一次方程组，求出两种灯的数量再利用B型灯的数量设参，根据两种灯的总利润达到1405元列方程，即可求出B型灯的数量【答案与解析】解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏根据题意，得，解得： (2)设购进B型台灯m盏，根据题意，得35m+20(50-m)1405， 解得m27 答：(1)A型台灯购进30盏
11、，B型台灯购进20盏；(2)要使销售这批台灯的总利润达到1405元，至少需购进B种台灯27盏【总结升华】本例为直接设元，利用表格进行分析、判断，这种方法值得学习和借鉴2、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.【答案】解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：解得：答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供36
12、0名学生就餐.能供全校的5300名学生就餐.3、一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中AB800，并且A，B都是100的整数倍(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务) (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； (2)求本次奖金发放的具体方案【思路点拨】 (1)有两个等量关系： 技术员工的人数+辅助员工的人数15人； 技术员工人数辅助员工人数2由此，可以设未知数列出方程组求解 (2)有一个等量关系：
13、两种标准发放的奖金和为20000元，结合AB800，且A，B都是100的整数倍，从而分类求解【答案与解析】解：(1)设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人根据题意，得，解得 即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人 (2)由(1)，可得10A+5B20000 因为AB800，且A，B都是100的整数倍， 所以当B800时，A1600； 当B900时，A1550(A不是100的整数倍，舍去)； 当B1000时，A1500； 当B1100时，A1450(A不是100的整数倍，舍去)； 当B1200时，A1400； 当B1300时，A1350(A不足100的整数倍，舍去)； 当B1400时，
14、A1300(AB，舍去)； 因此再取下去都不符合题意 所以本次奖金发放的具体方案有三种： 方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元； 方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元； 方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元【总结升华】本题的第(1)问容易求解难在由第 (2)问得到的等量关系武中含有两个未知数，好在这两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解4、联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.【答案】解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑： 只购进A型电脑和B型电脑，不符合题意，舍去，此方案不可取.只购进A型电脑和C型电脑，符合题意，此方案可取.只购进B型电脑和C型电脑，符合题意，此方案可取.答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.